ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008
18 Kremlyovskaya str., Kazan 420008
Пусть алгебра фон Неймана M операторов действует в гильбертовом пространстве H, τ – точный нормальный полуконечный след на M. Пусть S(M, τ ) – ∗-алгебра всех τ-измеримых операторов и X, Y ∈ S(M, τ ). Тогда (i) если |Y | ≤ |X|, то ker(X) ⊂ ker(Y ); (ii) если X обратим слева с X−1 l ∈ M, то ran(X∗) = H. Получено следующее обобщение теоремы Путнама (1951), см. также задачу 188 в книге Халмош П. Гильбертово пространство в задачах, Мир, М., 1970: положительный самокоммутатор A∗A − AA∗ (A ∈ S(M, τ )) не может иметь обратного в M. Пусть I – единица алгебры M и τ (I) = +∞, A,B ∈ S(M, τ ) и A = A3. Тогда коммутатор [A,B] не может иметь вид λI + K, где λ ∈ C \ {0} и оператор K ∈ S(M, τ ) τ -компактен
Let a von Neumann algebra M of operators act on a Hilbert space H, let τ be a faithful normal semifinite trace on M. Let S(M, τ ) be the ∗-algebra of all τ-measurable operators. Assume that X, Y ∈ S(M, τ ). We have (i) if |Y | ≤ |X| then ker(X) ⊂ ker(Y ); (ii) if X is left invertible with X−1 l ∈Mthen ran(X∗) = H. The following generalizes of the Putnam theorem (1951), see also Problem 188 in the book (Halmos P. R. A Hilbert space problem book. D. van Nostrand company, inc., London, 1967): A positive selfcommutator A∗A−AA∗ (A ∈ S(M, τ )) cannot have the inverse in M. Let I be the unit of the algebra M and τ (I) = +∞, let A,B ∈ S(M, τ ) and A = A3. Then the commutator [A,B] cannot have a form λI + K, where λ ∈ C \ {0} and an operator K ∈ S(M, τ ) is τ-compact
The authors declare that there are no conflicts of interest present.