matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2026.2.104-117matatecs-112Research ArticleСТАТЬИКвантовые каналы, сохраняющие сигма-аддитивность, и измеримые по Уламу кардиналыQuantum channels preserving sigma-additivity and Ulam measurable cardinalsДженжерС. В.DzhenzherS. V.

Дженжер Святослав Вадимович,

Институтский пер., д. 9, г. Долгопрудный, 141701.

Dzhenzher Sviatoslav Vadimovich,

9, Institutskii per., Dolgoprudny 141701.

sdjenjer@yandex.ruМосковский физико-технический институтРоссияMoscow Institute of Physics and TechnologyRussian Federation20262907202642104117Copyright © Дженжер С.В., 20262026Дженжер С.В.Dzhenzher S.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/112

Исследуется взаимосвязь между свойствами квантовых состояний в гильбертовом пространстве ℓ2(κ) и теоретико-множественной природой кардинала κ. Основное внимание уделяется вопросу существования сингулярных σ-аддитивных состояний – функционалов, индуцированные меры которых являются σ-аддитивными, но при этом обращаются в нуль на конечных множествах. Хотя известно, что существование таких состояний эквивалентно измеримости κ по Уламу, их структурные и динамические свойства остаются во многом неизученными. Мы доказываем, что любое σ-аддитивное состояние на диагональной алгебре представимо в виде интеграла Петтиса по сингулярной σ-аддитивной мере, что расширяет классическую теорию представлений на ненормальный сектор. Кроме того, мы конструируем класс квантовых каналов, использующих σ-полные ультрафильтры, которые отображают нормальные состояния в сингулярные σ-аддитивные состояния, фактически «архивируя» информацию в сингулярную часть пространства состояний.

We study the interplay between the properties of quantum states on the Hilbert space ℓ2(κ) and the set-theoretic nature of the cardinal κ. We focus on the existence of singular σ-additive states – functionals whose induced measures are σ-additive yet vanish on singletons. While the existence of such states is known to be equivalent to the Ulam measurability of κ, their structural and dynamical properties remain largely unexplored. We prove that any σ-additive state on the diagonal algebra is representable as a Pettis integral over a singular σ-additive measure, extending the classical representation theory to the non-normal sector. Furthermore, we construct a class of quantum channels using σ-complete ultrafilters that map normal states to singular σ-additive states, effectively «archiving» information into the singular part of the state space.

измеримые кардиналыквантовая динамикасингулярные квантовые состоянияинтеграл Петтисаmeasurable cardinalsquantum dynamicssingular quantum statesPettis integralsReferencesK.Yosida, E.Hewitt, Finitely additive measures, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1), 46–66 (1952). https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1952-0045194-XK.Yosida, E.Hewitt, Finitely additive measures, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1), 46–66 (1952). https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1952-0045194-XГ.Г.Амосов, В.Ж.Сакбаев, Об аналогах спектрального разложения квантового состояния, Матем. заметки 93 (3), 323–332 (2013). https://doi.org/10.4213/mzm9085G.G.Amosov, V.Zh.Sakbaev, On analogs of spectral decomposition of a quantum state, Math. Notes 93 (3), 351–359 (2013). https://doi.org/10.1134/S0001434613030012G.Amosov, V.Sakbaev, On dynamics of quantum states generated by averaging of random shifts, Adv. Oper. Theory 10 (3), paper No. 51 (2025). https://doi.org/10.1007/s43036-025-00440-2G.Amosov, V.Sakbaev, On dynamics of quantum states generated by averaging of random shifts, Adv. Oper. Theory 10 (3), paper No. 51 (2025). https://doi.org/10.1007/s43036-025-00440-2И.В.Волович, В.Ж.Сакбаев, Об универсальной краевой задаче для уравнений математической физики, Тр. МИАН 285, 64–88 (2014). https://doi.org/10.1134/S037196851402006XI.V.Volovich, V.Zh.Sakbaev, Universal boundary value problem for equations of mathematical physics, Proc. Steklov Inst. Math. 285 (1), 56–80 (2014). https://doi.org/10.1134/S0081543814040063И.В.Волович, В.Ж.Сакбаев, О квантовой динамике на C∗-алгебрах, Тр. МИАН 301, 33–47 (2018). https://doi.org/10.1134/S0371968518020036I.V.Volovich, V.Zh.Sakbaev, On quantum dynamics on C∗-algebras, Proc. Steklov Inst. Math. 301 (1), 25–38 (2018). https://doi.org/10.1134/S008154381804003XЮ.Н.Орлов, В.Ж.Сакбаев, Диффузия квантовых состояний, порождаемая классическим случайным блужданием, СМФН 71 (2), 275–286 (2025). https://doi.org/10.22363/2413-3639-2025-71-2-275-286I.V.Volovich, V.Zh.Sakbaev, Diffusion of quantum states generated by a classical random walk, CMFD 71 (2), 275–286 (2025) [in Russian]. https://doi.org/10.22363/2413-3639-2025-71-2-275-286E.A.Dzhenzher, S.V.Dzhenzher, V.Zh.Sakbaev, Banach and counting measures, and dynamics of singular quantum states generated by averaging of operator random walks, Lobachevskii J. Math. (2026), принята к печати.E.A.Dzhenzher, S.V.Dzhenzher, V.Zh.Sakbaev, Banach and counting measures, and dynamics of singular quantum states generated by averaging of operator random walks, Lobachevskii J. Math. (2026), to appear.D.P.Blecher and N. Weaver, Quantum measurable cardinals, J. Funct. Anal. 273 (5), 1870–1890 (2017). https://doi.org/10.1016/j.jfa.2017.05.006D.P.Blecher and N. Weaver, Quantum measurable cardinals, J. Funct. Anal. 273 (5), 1870–1890 (2017). https://doi.org/10.1016/j.jfa.2017.05.006T.J.Jech, Measurable cardinals, in: Set theory. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Berlin, Heidelberg, 125–138 (2003). https://doi.org/10.1007/3-540-44761-X_10T.J.Jech, Measurable cardinals, in: Set theory. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Berlin, Heidelberg, 125–138 (2003). https://doi.org/10.1007/3-540-44761-X_10N.Dunford, J.Schwartz, Linear operators. Part 1. General theory, Interscience Publ., New York, 1958. URL: https://books.google.ru/books?id=x94XzQEACAAJN.Dunford, J.Schwartz, Linear operators. Part 1. General theory, Interscience Publ., New York, 1958. URL: https://books.google.ru/books?id=x94XzQEACAAJ

The authors declare that there are no conflicts of interest present.