matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2026.2.118-133matatecs-113Research ArticleСТАТЬИО неподвижных точках строго положительных стохастических операторов на одномерном симплексеOn fixed points of strictly positive stochastic operators on a one-dimensional simplexНодировШ. Д.NodirovSh. D.

Шохрух Дилмуродович Нодиров,

ул. Кучабаг, д. 17, г. Карши, 180119;

ул. Кремлевская, д. 35, г. Казань, 420008 (Россия).

Shohruh Dilmurodovich Nodirov,

17, Kuchabag str., Karshi, 180119;

18, Kremlyovskaya str., Kazan 420008 (Russia).

shoh0809@mail.ruЭшкабиловЮ. Х.EshkabilovYu. Kh.

Юсуп Халбаевич Эшкабилов,

ул. Кучабаг, д. 17, г. Карши, 180119.

Yusup Khalbayevich Eshkabilov,

17, Kuchabag str., Karshi, 180119.

yusup62@mail.ruКаршинский государственный университет; Казанский (Приволжский) федеральный университет, Научно-образовательный математический центр ПФОУзбекистанKarshi State University; Kazan Federal University, Volga Region Mathematical CenterUzbekistanКаршинский государственный университетУзбекистанKarshi State UniversityUzbekistan20262907202642118133Copyright © Нодиров Ш.Д., Эшкабилов Ю.Х., 20262026Нодиров Ш.Д., Эшкабилов Ю.Х.Nodirov S.D., Eshkabilov Y.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/113

Исследуется класс строго положительных стохастических операторов степени n, действующих на одномерном симплексе. Основное внимание уделяется задаче о количестве неподвижных точек таких операторов. Показано, что эта задача сводится к исследованию количества корней соответствующего полинома степени n на интервале (0,1). Доказано существование неподвижной точки для произвольного n.

Для квадратичного случая (n = 2) установлена единственность неподвижной точки. Для кубического оператора (n = 3) получены условия существования одной, двух или трех неподвижных точек. Для оператора четвертой степени (n = 4) доказаны критерии количества неподвижных точек в зависимости от параметров оператора.

A class of strictly positive stochastic operators of degree n acting on a one-dimensional simplex is investigated. The main focus is on the problem of the number of fixed points of such operators. It is shown that this problem reduces to studying the number of roots of the corresponding degree n polynomial on the interval (0,1). The existence of at least one fixed point is proved for arbitrary n.

For the quadratic case (n = 2), the uniqueness of the fixed point is established. For a cubic operator (n = 3), conditions for the existence of one, two, or three fixed points are obtained. For a quartic operator (n = 4), criteria determining the number of fixed points are proved in terms of the operator’s parameters.

неподвижная точкастохастический операторсимплексбиномиальный коэффициентполиномточки экстремумаfixed pointsimplexstochastic operatorbinomial coefficientpolynomialextreme pointsИсследование выполнено при поддержке прикладного гранта Агентства инновационного развития при Министерстве высшего образования, науки и инноваций Республики Узбекистан (номер AL-9224093956).This research was supported by an applied grant from the Agency for Innovative Development under the Ministry of Higher Education, Science and Innovations of the Republic of Uzbekistan (Grant No. AL-9224093956).ReferencesЮ.И.Любич, Математические структуры в популяционной генетике, Наук. Думка, Киев, 1983.Y.I.Lyubich, Mathematical structures in population genetics, Springer-Verlag, Berlin, 1992.Ф.А.Шахиди, О бистохастических операторах, определенных в конечномерном симплексе, Сиб. матем. журн. 50 (2), 463–468 (2009). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj1973F.A.Shahidi, Doubly stochastic operators on a finite-dimensional simplex, Siberian Math. J. 50 (2), 368–372 (2009). https://doi.org/10.1007/s11202-009-0042-3R.Ganikhodzhaev, F.Mukhamedov, U.Rozikov, Quadratic stochastic operators and processes: results and open problems, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 14 (2), 279–335 (2011). https://doi.org/10.1142/S0219025711004365R.Ganikhodzhaev, F.Mukhamedov, U.Rozikov, Quadratic stochastic operators and processes: results and open problems, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 14 (2), 279–335 (2011). https://doi.org/10.1142/S0219025711004365J.N.Jumayev, Criterion for the preservation of the one-dimensional simplex by a cubic operator, Uzbek Math. J. 68 (4), 85–95 (2024). https://doi.org/10.29229/uzmj.2024-4-9J.N.Jumayev, Criterion for the preservation of the one-dimensional simplex by a cubic operator, Uzbek Math. J. 68 (4), 85–95 (2024). https://doi.org/10.29229/uzmj.2024-4-9Ж.Н.Жумаев, Достаточное условие кубического оператора для сохранения симплекса, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 18 (5), 663–673 (2025). URL: https://www.mathnet.ru/rus/jsfu1278J.N.Jumayev, A sufficient condition for a cubic operator to preserve a simplex, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 18 (5), 663–673 (2025). URL: https://www.mathnet.ru/rus/jsfu1278U.U.Jamilov, A.Yu.Khamraev, M.Ladra, On a Volterra cubic stochastic operator, Bull. Math. Biol. 80 (2), 319–334 (2018). https://doi.org/10.1007/s11538-017-0376-0U.U.Jamilov, A.Yu.Khamraev, M.Ladra, On a Volterra cubic stochastic operator, Bull. Math. Biol. 80 (2), 319–334 (2018). https://doi.org/10.1007/s11538-017-0376-0A.Yu.Khamraev, J.N.Jumayev, Dynamics of a cubic stochastic operator with one discontinuity point, Uzbek Math. J. 69 (1), 79–86 (2025). https://doi.org/10.29229/uzmj.2025-1-8A.Yu.Khamraev, J.N.Jumayev, Dynamics of a cubic stochastic operator with one discontinuity point, Uzbek Math. J. 69 (1), 79–86 (2025). https://doi.org/10.29229/uzmj.2025-1-8A.Yu.Khamraev, N.P.Makhmatkobilov, On the dynamics of a quasi-strictly non-Volterra cubic stochastic operator, JCAM 15 (1), 1–9 (2025). https://doi.org/10.62476/jcam.151.1A.Yu.Khamraev, N.P.Makhmatkobilov, On the dynamics of a quasi-strictly non-Volterra cubic stochastic operator, JCAM 15 (1), 1–9 (2025). https://doi.org/10.62476/jcam.151.1Yu.Kh.Eshkabilov, Sh.D.Nodirov, F.H.Haydarov, Positive fixed points of quadratic operators and Gibbs measures, Positivity 20 (4), 929–943 (2016). https://doi.org/10.1007/s11117-015-0394-9Yu.Kh.Eshkabilov, Sh.D.Nodirov, F.H.Haydarov, Positive fixed points of quadratic operators and Gibbs measures, Positivity 20 (4), 929–943 (2016). https://doi.org/10.1007/s11117-015-0394-9Ю.Х.Эшкабилов, Ш.Д.Нодиров, Положительные неподвижные точки кубических операторов на R2 и меры Гиббса, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 12 (6), 663–673 (2019). https://doi.org/10.17516/1997-1397-2019-12-6-663-673Yu.Kh.Eshkabilov, Sh.D.Nodirov, Positive fixed points of cubic operators on R2 and Gibbs measures, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 12 (6), 663–673 (2019). https://doi.org/10.17516/1997-1397-2019-12-6-663-673Ю.Х.Эшкабилов, Ш.Д.Нодиров, Положительные неподвижные точки интегральных операторов типа Гаммерштейна с вырожденным ядром, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 166 (3), 437–449 (2024). https://doi.org/10.26907/2541-7746.2024.3.437-449Yu.Kh.Eshkabilov, Sh.D.Nodirov, Positive fixed points of Hammerstein integral operators with degenerate kernel, Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki 166 (3), 437–449 (2024). [in Russian]. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2024.3.437-449В.В.Прасолов, Многочлены, МЦНМО, М., 2003. URL: https://math.ru/lib/391V.V.Prasolov, Polynomials, Springer-Verlag, Berlin, 2004. https://doi.org/10.1007/978-3-642-03980-5R.Bürger, The mathematical theory of selection, recombination, and mutation, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 2000.R.Bürger, The mathematical theory of selection, recombination, and mutation, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 2000.W.J.Ewens, Mathematical population genetics. I. Theoretical introduction, Springer-Verlag, New York, 2004. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21822-9W.J.Ewens, Mathematical population genetics. I. Theoretical introduction, Springer-Verlag, New York, 2004. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21822-9S.P.Otto, J.Whitton, Polyploid incidence and evolution, Annu. Rev. Genet. 34, 401–437 (2000). https://doi.org/10.1146/annurev.genet.34.1.401S.P.Otto, J.Whitton, Polyploid incidence and evolution, Annu. Rev. Genet. 34, 401–437 (2000). https://doi.org/10.1146/annurev.genet.34.1.401B.S.Baratov, U.U.Jamilov, On separable cubic stochastic operators, Qual. Theory Dyn. Syst. 23 (2), paper no. 93 (2024). https://doi.org/10.1007/s12346-023-00950-5B.S.Baratov, U.U.Jamilov, On separable cubic stochastic operators, Qual. Theory Dyn. Syst. 23 (2), paper no. 93 (2024). https://doi.org/10.1007/s12346-023-00950-5B.S.Baratov, The dynamics of a separable cubic operator, Uzbek Math. J. 68 (2), 27–41 (2024). https://doi.org/10.29229/uzmj.2024-2-4B.S.Baratov, The dynamics of a separable cubic operator, Uzbek Math. J. 68 (2), 27–41 (2024). https://doi.org/10.29229/uzmj.2024-2-4

The authors declare that there are no conflicts of interest present.