matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2023.4.105-117matatecs-33Research ArticleСТАТЬИСубгармонические дополнения к теоремам Бёрлинга–Мальявена. II. О радиусе полнотыSubharmonic additions to the Beurling–Malliavin Theorems. II. On the completeness radiusХабибуллинБ. Н.KhabibullinB. N.

Булат Нурмиевич Хабибуллин 

ул. Чернышевского, д. 112, г. Уфа, 450008

 

Bulat Nurmievich Khabibullin 

112 Chernyshevsky str., Ufa 450008, Russia

 

khabib-bulat@mail.ruКудашеваЕ. Г.KudashevaE. G.

Елена Геннадьевна Кудашева 

ул. Октябрьской революции, д. 3А, г. Уфа, 450008

Elena Gennadievna Kudasheva 

3A Oktyabr’skoy Revolyutsii str., Ufa, 450008, Russia

lena_kudasheva@mail.ruИнститут математики с вычислительным центром УФИЦ РАНРоссияInstitute of Mathematics with Computing Centre Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of Russian Academy of ScienceRussian FederationБашкирский государственный педагогический университет им. М. АкмуллыРоссияAkmulla Bashkir State Pedagogical UniversityRussian Federation20230201202414105117Copyright © Хабибуллин Б.Н., Кудашева Е.Г., 20242024Хабибуллин Б.Н., Кудашева Е.Г.Khabibullin B.N., Kudasheva E.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/33

Теорема Бёрлинга–Мальявена о мультипликаторе, рассматривавшаяся в субгармоническом обрамлении в первой части нашей работы, уже в изначальном классическом варианте в рамках целых функций экспоненциального типа позволила в 1960-е гг. полностью решить задачу о радиусе полноты экспоненциальной системы в форме замечательного критерия исключительно в геометрических терминах для показателей этой экспоненциальной системы без каких-либо дополнительных ограничений на взаимное расположение этих показателей. Точные формулировки теоремы Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты во введении мы несколько адаптируем как задачу о возможном минимальном росте вдоль вещественной оси R субгармонических функций с заданными ограничениями на распределения их масс Рисса. В этой, во многом обзорной части работы, мы обсуждаем теорему Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты вместе с ее несколько более общими субгармоническими проявлениями. Так, наши результаты 2014–16 гг. позволяют получать значительно более тонкие результаты в отношении самой теоремы Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты с дефектом-избытком не более 1 или 2 для показателей в классических жестких банаховых пространствах непрерывных функций на отрезке фиксированной длины или функций с интегрируемым в p-й степени модулем на таких отрезках.

The Beurling–Malliavin Theorem on the multiplier, considered in a subharmonic framework in the first part of our work, already in its original classical version within the framework of entire functions of exponential type, allowed in the 1960s to completely solve the problem of the radius of completeness of exponential system in the form of a remarkable criterion and exclusively in geometric terms for the exponents of this exponential system without any additional restrictions on the relative position of these exponents. The exact formulations of the Beurling– Malliavin Theorem on the radius of completeness in the introduction are somewhat adapted as a problem of the possible minimum growth along the real axis R of subharmonic functions with given constraints on their Riesz distributions of masses. In this largely overview part of the paper, we discuss the Beurling–Malliavin Theorem on the radius of completeness, along with its somewhat more general subharmonic manifestations. Thus, our results from 2014-16 allow us to obtain significantly more subtle results with respect to the Beurling – Malliavin Theorem itself on the radius of completeness with a defect excess of no more than 1 or 2 for exponents in classical rigid Banach spaces of continuous functions on a segment of fixed length or functions with integrable module in the p-th degree on such segments.

целая функция экспоненциального типасубгармоническая функция конечного типарадиус полнотыэкспоненциальная системараспределение показателейпреобразование Гильбертаинтеграл Пуассонаentire function of exponential typesubharmonic function of finite typeradius of completenessexponential systemdistribution of exponentsHilbert transformPoisson integralРабота выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FMRS-2022-0124).The work was carried out within the framework of the state task of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (the code of the scientific topic FMRS-2022-0124).ReferencesБ.Н. Хабибуллин, Полнота систем экспонент и множества единственности, изд. 4-е доп., Редакционно-издательский центр БашГУ, Уфа, 2012. URL: https://www.researchgate.net/publication/271841461B.N. Khabibullin, Completeness of exponential systems and uniqueness sets, 4th ed., Bashkir State Univ. Press, Ufa, 2012 [in Russian]. DOI: https://doi.org/10.13140/2.1.4572.7525Б.Н. Хабибуллин, Е.Г. Кудашева, Субгармонические дополнения к теоремам Бёрлинга–Мальявена. I. О мультипликаторе, Матем. теор. комп. науки 1 (3), 59–76 (2023).B.N. Khabibullin, E.G. Kudasheva. Subharmonic additions to Beurling–Malliavin Theorems. I. On the multiplier, MTCS 1 (3), 59–76 (2023).Л.К. Эванс, К.Ф. Гариепи, Теория меры и тонкие свойства функции, Научн. кн. (ИДМИ), Новосибирск, 2002.L.C. Evans, R.F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition, CRC Press, 2015.Th. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511623776Th. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511623776R.M. Redheffer, Completeness of sets of complex exponentials, Adv. Math. 24 (1), 1–62 (1977). DOI: https://doi.org/10.1016/S0001-8708(77)80002-9R.M. Redheffer, Completeness of sets of complex exponentials, Adv. Math. 24 (1), 1–62 (1977). DOI: https://doi.org/10.1016/S0001-8708(77)80002-9И.Ф. Красичков-Терновский, Интерпретация теоремы Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты, Матем. сб. 180 (3), 397–423 (1989). URL: https://www.mathnet.ru/rus/sm1618I.F. Krasichkov-Ternovskii, An interpretation of the Beurling–Malliavin theorem on the radius of completeness, Math. USSR-Sb. 66 (2), 405–429 (1990). DOI: https://doi.org/10.1070/SM1990v066n02ABEH001178Б.Н. Хабибуллин, Неконструктивные доказательства теоремы Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты и теоремы неединственности для целых функций, Изв. РАН. Сер. матем. 58 (4), 125–148 (1994). URL: https://www.mathnet.ru/rus/im773B.N. Khabibullin, Nonconstructive proofs of the Beurling–Malliavin theorem on the radius of completeness, and nonuniqueness theorems for entire functions, Russian Acad. Sci. Izv. Math. 45 (1), 125–149 (1995). DOI: https://doi.org/10.1070/IM1995v045n01ABEH001622A. Beurling, P. Malliavin, On the closure of characters and the zeros of entire functions, Acta Math. 118, 79–93 (1967). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02392477A. Beurling, P. Malliavin, On the closure of characters and the zeros of entire functions, Acta Math. 118, 79–93 (1967). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02392477J.-P. Kahane, Travaux de Beurling et Malliavin, S´eminaire Bourbaki (ann´ee 1961/62, expos´es 223–240, Talk no. 225), (7), 27–39 (1962). URL: http://www.numdam.org/item/SB_1961-1962__7__27_0/J.-P. Kahane, Travaux de Beurling et Malliavin, S´eminaire Bourbaki (ann´ee 1961/62, expos´es 223–240, Talk no. 225), (7), 27–39 (1962). URL: http://www.numdam.org/item/SB_1961-1962__7__27_0/P. Koosis, The logarithmic integral. I, Cambridge Stud. Adv. Math. 12, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988.P. Koosis, The logarithmic integral. I, Cambridge Stud. Adv. Math. 12, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988.V. Havin, B. Jo¨ricke, The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1994.V. Havin, B. Jo¨ricke, The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1994.P. Koosis, The logarithmic integral. II, Cambridge Stud. Adv. Math. 21, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992.P. Koosis, The logarithmic integral. II, Cambridge Stud. Adv. Math. 21, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992.P. Koosis, Lec¸ons sur le th´eor`eme de Beurling et Malliavin, Les Publications CRM, Univ. Montr´eal, Montr´eal, QC, 1996.P. Koosis, Lec¸ons sur le th´eor`eme de Beurling et Malliavin, Les Publications CRM, Univ. Montr´eal, Montr´eal, QC, 1996.Б.Н. Хабибуллин, Г.Р. Талипова, Ф.Б. Хабибуллин, Подпоследовательности нулей для пространств Бернштейна и полнота систем экспонент в пространствах функций на интервале, Алгебра и анализ 26 (2), 185–215 (2014). URL: https://www.mathnet.ru/rus/aa1381B.N. Khabibullin, G.R. Talipova, F.B. Khabibullin, Zero subsequences for Bernsteins spaces and the completeness of exponential systems in spaces of functions on an interval, St. Petersburg Math. J. 26 (2), 319–340 (2015). DOI: https://doi.org/10.1090/S1061-0022-2015-01340-XТ.Ю. Байгускаров, Г.Р. Талипова, Б.Н. Хабибуллин, Подпоследовательности нулей для классов целых функций экспоненциального типа, выделяемых ограничениями на их рост, Алгебра и анализ 28 (2), 1–33 (2016). URL: https://www.mathnet.ru/rus/aa1483T. Yu. Baˇiguskarov, G.R. Talipova, B.N. Khabibullin, Subsequences of zeros for classes of entire functions of exponential type distinguished by growth restrictions, St. Petersburg Math. J. 28 (2), 127–151 (2017). DOI: https://doi.org/10.1090/spmj/1442

The authors declare that there are no conflicts of interest present.