matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2024.1.31-54matatecs-38Research ArticleСТАТЬИО продолжении сингулярных линейных бесконечномерных гамильтоновых потоковOn the extension of singular linear infinite-dimensional Hamiltonian flowsГлазатовВ. А.GlazatovV. A.

Владимир Андреевич Глазатов 

Миусская пл., д. 4, г. Москва, 125047 

Vladimir Andreevich Glazatov 

4 Miysskaya sq., Moscow 125047 

glazv96@mail.ruСакбаевВ. Ж.SakbaevV. Z.

Всеволод Жанович Сакбаев 

Миусская пл., д. 4, г. Москва, 125047 

Vsevolod Zhanovich Sakbaev 

4 Miysskaya sq., Moscow 125047 

fumi2003@mail.ruИнститут Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАНРоссияKeldysh Institute of Applied Mathematics (Russian Academy of Sciences)Russian Federation202415042024213154Copyright © Глазатов В.А., Сакбаев В.Ж., 20242024Глазатов В.А., Сакбаев В.Ж.Glazatov V.A., Sakbaev V.Z.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/38

Исследуется явление ухода на бесконечность за конечное время фазовых траекторий гамильтоновой системы, фазовым пространством которой является сепарабельное гильбертово пространство. Показано, что если гамильтониан является плотно определенной квадратичной формой на фазовом пространстве, не мажорируемой ни снизу, ни сверху квадратичной формой гильбертовой нормы, то фазовые траектории допускают уход на бесконечность за конечное время. Для описания фазового потока таких гамильтоновых систем вводится расширенное фазовое пространство, которое представляет собой локально выпуклое пространство, на которое допускают продолжения определенные на исходном гильбертовом пространстве функция Гамильтона, траектории гамильтоновой системы и симплектическая форма. Также исследуются инвариантные относительно потока меры на расширенном пространстве. Исследованы свойства купмановкого унитарного представления продолженного фазового потока в гильбертовом пространстве функций, квадратично интегрируемых по инвариантной мере.

We study the phenomenon of phase trajectories of a Hamiltonian system going to infinity in a finite time, the phase space of which is a separable Hilbert space. It is shown that if the Hamiltonian is a densely defined quadratic form on the phase space, which is not majorized either from below or from above by the quadratic form of the Hilbert norm, then the phase trajectories allow going to infinity in a finite time. To describe the phase flow of such Hamiltonian systems, an extended phase space is introduced, which is a locally convex space to which the Hamiltonian function, trajectories of the Hamiltonian system, and the symplectic form defined on the original Hilbert space can be extended. Flowinvariant measures on extended space are also studied. The properties of the Koopman unitary representation of the extended phase flow in the Hilbert space of functions that are quadratically integrable with respect to an invariant measure are investigated.

симплектоморфизмтрансляционно инвариантная мератеорема А. Вейлягамильтонов потоккупмановское представлениеsymplectomorphismtranslation invariant measureA. Weil’s theoremHamiltonian flowKoopman representationReferencesJ. Bourgain, Periodic nonlinear Schrodinger equation and invariant measures, Comm. Math. Phys. 166, 1–26 (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02099299J. Bourgain, Periodic nonlinear Schrodinger equation and invariant measures, Comm. Math. Phys. 166, 1–26 (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02099299P. Chernoff, J. Marsden, Properties of infinite dimensional Hamiltonian systems, Lecture Notes Math. 425, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1974. DOI: https://doi.org/10.1007/bfb0073665P. Chernoff, J. Marsden, Properties of infinite dimensional Hamiltonian systems, Lecture Notes Math. 425, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1974. DOI: https://doi.org/10.1007/bfb0073665P.E. Zhidkov, On invariant measure for some infinite-dimensional dynamical systems, Ann. Inst. H. Poincare Sect. A 62, 267–287 (1995). URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0693-3_32P.E. Zhidkov, On invariant measure for some infinite-dimensional dynamical systems, Ann. Inst. H. Poincare Sect. A 62, 267–287 (1995). URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0693-3_32V.M. Busovikov, V.Zh. Sakbaev, Direct limit of shift-invariant measures on a Hilbert space, Lobachevskii J. Math. 44 (6), 1998–2006 (2023). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223060136V.M. Busovikov, V.Zh. Sakbaev, Direct limit of shift-invariant measures on a Hilbert space, Lobachevskii J. Math. 44 (6), 1998–2006 (2023). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223060136V.Zh. Sakbaev, Flows in infinite-dimensional phase space equipped with a finitely-additive invariant measure, Mathematics 11 (5), 1161 (2023). DOI: https://doi.org/10.3390/math11051161V.Zh. Sakbaev, Flows in infinite-dimensional phase space equipped with a finitely-additive invariant measure, Mathematics 11 (5), 1161 (2023). DOI: https://doi.org/10.3390/math11051161Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Неограниченные случайные операторы и формулы Фейнмана, Изв. РАН. Сер. матем. 80 (6), 141–172 (2016). DOI: https://doi.org/10.4213/im8402Yu.N. Orlov, V.Zh. Sakbaev, O.G. Smolyanov, Unbounded random operators and Feynman formulae, Izv. Math., 80 (6), 1131–1158 (2016). DOI: https://doi.org/10.1070/im8402M.D. Srinivas, Collapse postulate for observables with continuous spectra, Comm. Math. Phys. 71 (2), 131–158 (1980). DOI: https://doi.org/10.1007/bf01197917M.D. Srinivas, Collapse postulate for observables with continuous spectra, Comm. Math. Phys. 71 (2), 131–158 (1980). DOI: https://doi.org/10.1007/bf01197917В.В. Козлов, О.Г. Смолянов, Гамильтонов подход к вторичному квантованию, Докл. РАН 483 (2), 138–142 (2018). DOI: https://doi.org/10.31857/S086956520003467-6V.V. Kozlov, O.G. Smolyanov, Hamiltonian approach to secondary quantization, Dokl. Math. 98 (3), 571–574 (2018). DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562418070098О.Г. Смолянов, Н.Н.Шамаров, Квантование по Шрёдингеру бесконечномерных гамильтоновых систем с неквадратичной функцией Гамильтона, Докл. РАН. 492 (1), 65–69 (2020). DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954320030200O.G. Smolyanov, N.N. Shamarov, Schro¨dinger Quantization of Infinite-Dimensional Hamiltonian Systems with a Nonquadratic Hamiltonian Function, Dokl. Math. 101 (3), 227–230 (2020). DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562420030205T. Gill, A. Kirtadze, G. Pantsulaia, A. Plichko, Existence and uniqueness of translation invariant measures in separable Banach spaces, Functiones et Approximatio 50 (2), 1– 19 (2014). DOI: https://10.7169/facm/2014.50.2.12T. Gill, A. Kirtadze, G. Pantsulaia, A. Plichko, Existence and uniqueness of translation invariant measures in separable Banach spaces, Functiones et Approximatio 50 (2), 1– 19 (2014). DOI: https://10.7169/facm/2014.50.2.12R. Baker, “Lebesgue measure” on R∞, Proc. Amer. Math. Soc. 113 (4), 1023–1029 (1991). DOI: https://doi.org/10.2307/2048779R. Baker, “Lebesgue measure” on R∞, Proc. Amer. Math. Soc. 113 (4), 1023–1029 (1991). DOI: https://doi.org/10.2307/2048779Д.В. Завадский, Аналоги меры Лебега в пространствах последовательностей и классы интегрируемых по ним функций, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. 151, 37–44 (2018). URL: https://www.mathnet.ru/rus/into338D.V. Zavadskii, Analogs of the Lebesgue measure in spaces of sequences and classes of functions integrable with respect to these measures, J. Math. Sci. (N.Y.), 252 (1), 36–42 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-020-05139-8В.Ж. Сакбаев, Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвига, Теор. матем. физ. 191 (3), 473–502 (2017). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9153V.Zh. Sakbaev, Averaging of random walks and shift-invariant measures on a Hilbert space, Theor. Math. Phys. 191 (3), 886–909 (2017). DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577917060083В.А. Глазатов, В.Ж. Сакбаев, Меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно гамильтоновых потоков, Уфимск. матем. журн. 14 (2), 3–22 (2022). URL: https://www.mathnet.ru/rus/ufa607V.A. Glazatov, V.Zh. Sakbaev, Measures on a Hilbert space that are invariant with respect to Hamiltonian flows, Ufimsk. Mat. Zh. 14 (2), 3–21 (2022). DOI: https://doi.org/10.13108/2022-14-2-3А.Ю. Хренников, Симплектическая геометрия на бесконечномерном фазовом пространстве и асимптотическое представление квантовых средних гауссовыми функциональными интегралами, Изв. РАН. Сер. Матем. 72 (1), 137–160 (2008). DOI: https://doi.org/10.4213/im786A.Yu. Khrennikov, Symplectic geometry on an infinite-dimensional phase space and an asymptotic representation of quantum averages by Gaussian functional integrals, Izv. Math. 72 (1), 127–148 (2008). DOI: https://doi.org/10.1070/IM2008v072n01ABEH002395Н. Данфорд, Дж.Т.Шварц, Линейные операторы. Т. 1. Общая теория, УРСС, М., 2004.N. Dunford, J.T.Schwartz, Linear operators, Part 1: General theory, Wiley-Interscience, 1988.Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев, А.С. Усачевa, Геометрия банаховых пределов и их приложения, УМН 75 (4), 153–194 (2020). DOI: https://doi.org/10.4213/rm9901E.M. Semenov, F.A. Sukochev, A.S. Usachev, Geometry of Banach limits and their applications, Russ. Math. Surv. 75 (4), 725–763 (2020). DOI: https://doi.org/10.1070/RM9901F. Sukochev, A. Usachev, D. Zanin, Generalized limits with additional invariance properties and their applications to noncommutative geometry, Adv. Math. 239, 164–189 (2013). DOI: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.02.012F. Sukochev, A. Usachev, D. Zanin, Generalized limits with additional invariance properties and their applications to noncommutative geometry, Adv. Math. 239, 164–189 (2013). DOI: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.02.012

The authors declare that there are no conflicts of interest present.