matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2024.2.4-29matatecs-42Research ArticleСТАТЬИО функциональном пространстве со смешанной обобщенной логарифмической гладкостьюOn a function space with mixed generalized logarithmic smoothnessАкишевГ.AkishevG.

Габдолла  Акишев

ул. Кажымукана, д. 11, г. Астана, 100001; ул. Пушкина, д. 125, г. Алматы, 050010

Gabdolla  Akishev 

11 Kazhymukan str., Astana 100001, Kazakhstan; 125 Pushkin str., Almaty 050010, Kazakhstan

akishev_g@mail.ruМосковского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Казахстанский филиал; Институт математики и математического моделированияКазахстанLomonosov Moscow University, Kazakhstan Branch; Institute of mathematics and mathematical modelingKazakhstan202428072024224–29Copyright © Акишев Г., 20242024Акишев Г.Akishev G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/42

Рассматриваются анизотропное пространство Лоренца, 2π-периодических функций m переменных и пространство Никольского–Бесова – функций со смешанной обобщенной логарифмической гладкостью. Доказаны теоремы вложения для пространств функций со смешанной обобщенной логарифмической гладкостью.

We consider the anisotropic Lorentz space of 2π-periodic functions of m variables and the Nikol’skii–Besov space of functions with mixed generalized logarithmic smoothness. Embedding theorems are proved for spaces of functions with mixed generalized logarithmic smoothness.

пространство Лоренцакласс Никольского–Бесоваобобщенная гладкостьLorentz spaceNikol’ski–Besov classgeneralized smoothnessThis work was supported by a grant the Committee of Science of the Ministry of Science and Higher Education of the Republic of Kazakhstan (project AP19677486).ReferencesС.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семенов, Интерполяция линейных операторов, Наука, М., 1978.S.G. Krein, Yu.I. Petunin, E.M. Semenov, Interpolation of linear operators, Ser. Translat. Math. Monographs 54, AMS, Providence, R.I., 1982.A.P. Blozinski, Multivariate rearrangements and Banach function spaces with mixed norms, Trans. Amer. Math. Soc. 263 (1), 149–167 (1981). DOI: https://doi.org/10.2307/1998649A.P. Blozinski, Multivariate rearrangements and Banach function spaces with mixed norms, Trans. Amer. Math. Soc. 263 (1), 149–167 (1981). DOI: https://doi.org/10.2307/1998649V.I. Kolyada, On embedding theorems, In Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications, Proceedings of the Spring School held in Prague, Vol. 8, 35–94 (2007). URL: https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/702492V.I. Kolyada, On embedding theorems, In Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications, Proceedings of the Spring School held in Prague, Vol. 8, 35–94 (2007). URL: https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/702492Е.Д. Нурсултанов, О коэффициентах кратных рядов Фурье из Lp-пространств, Изв. РАН. Сер. матем. 64 (1), 95–122 (2000). DOI: https://doi.org/10.4213/im275E.D. Nursultanov, On the coefcients of multiple Fourier series in Lp-spaces, Izv. Math. 64 (1), 93–120 (2000). DOI: https://doi.org/10.1070/im2000v064n01ABEH000275С.М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, Наука, М., 1977.S.M. Nikol’skii, Approximation of functions of several variables and embedding theorems, Nauka, Moscow, 1977 [in Russian].П.И. Лизоркин, С.М. Никольский, Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения, Тр. МИАН СССР 187, 143–161 (1989). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm1807P.I. Lizorkin, S. M. Nikol’skii, Functional spaces of mixed smoothness from decompositional point of view, Proc. Steklov Inst. Math. 187, 163–184 (1990).М.К. Потапов, Изучение некоторых классов функций при помощи приближения “углом”, Тр. МИАН СССР,117, 256–291 (1972). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm3100M.K. Potapov, The study of certain classes of functions by means of “angular” approximation, Proc. Steklov Inst. Math. 117, 301–342 (1972).М.К. Потапов, Теоремы вложения смешанной метрике, Тр. МИАН СССР 156, 143– 156 (1980). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm2415M.K. Potapov, Imbedding theorems in a mixed metric, Proc. Steklov Inst. Math. 156, 155– 171 (1983).С.M. Никольский, Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных, Тр. МИАН СССР 38, 244–278 (1951). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm1119S.M. Nikol’skii, Inequalities for entire functions of fi degree and their application in the theory of differentiable functions of several variables, Tr. Mat. Inst. Steklov 38, 244–278 (1951) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm1119О.В. Бесов, Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения, Тр. МИАН СССР 60, 42–81 (1961). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm1480O.V. Besov, Investigation of a class of function spaces in connection with imbedding and extension theorems, Tr. Mat. Inst. Steklov 60, 42–81 (1961) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm1480F. Cobos, O. Dominguez, On Besov spaces of logarithmic smoothness and Lipschitz spaces, J. Math. Anal. Appl. 425 (1), 71–84 (2015). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2014.12.034F. Cobos, O. Dominguez, On Besov spaces of logarithmic smoothness and Lipschitz spaces, J. Math. Anal. Appl. 425 (1), 71–84 (2015). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2014.12.034F. Cobos, O. Dominguez, H. Triebel, Characterizations of logarithmic Besov spaces in terms of diff ences, Fourier-analytical decompositions, wavelets and semi-groups, J. Funct. Anal. 270 (12), 4386–4425 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.03.007F. Cobos, O. Dominguez, H. Triebel, Characterizations of logarithmic Besov spaces in terms of diff ences, Fourier-analytical decompositions, wavelets and semi-groups, J. Funct. Anal. 270 (12), 4386–4425 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.03.007O. Dominguez, S. Tikhonov, Function spaces of logarithmic smoothness: embedding and characterizations, Preprint, arXiv:1811.06399 [math.FA], 2018. URL: https://arxiv.org/abs/1811.06399O. Dominguez, S. Tikhonov, Function spaces of logarithmic smoothness: embedding and characterizations, Preprint, arXiv:1811.06399 [math.FA], 2018. URL: https://arxiv.org/abs/1811.06399S. Artamonov, K.V. Runovskii, H.-J. Schmeisser, Besov spaces with generalized smoothness and summability of multiple Fourier series, J. Approx. Theory 284, art. 105822 (2022). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2022.105822S. Artamonov, K.V. Runovskii, H.-J. Schmeisser, Besov spaces with generalized smoothness and summability of multiple Fourier series, J. Approx. Theory 284, art. 105822 (2022). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2022.105822С.М. Никольский, Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гёльдера, Сиб. матем. журн. 4 (6), 1342–1364 (1963). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj4971S. M. Nikol’skii, Functions with dominating mixed derivatives satisfying multiple H¨older conditions, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 102, 27–51 (1973).Т.И. Аманов, Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной, Наука, Алма-Ата, 1976.T.I. Amanov, Spaces of diferentiable functions with dominating mixed derivatives, AlmaAta, Nauka, 1976.Н.К. Бари, С.Б. Стечкин, Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций, Тр. ММО 5, 483–522 (1956). URL: https://www.mathnet.ru/rus/mmo56N.K. Bary, S.B. Stechkin, Best approximations and diff ential properties of two conjugate functions, Tr. Mosk. Mat. Obs. 5, 483–522 (1956) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/mmo56D.E. Edmunds, W.D. Evans, Hardy operators, function spaces and embedding, SpringerVerlag, Berlin, 2004. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-07731-3D.E. Edmunds, W.D. Evans, Hardy operators, function spaces and embedding, SpringerVerlag, Berlin, 2004. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-07731-3Н. Темиргалиев, О вложении классов Hω в пространства Лоренца, Сиб. матем. журн. 24 (2), 160–172 (1983). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj6703N. Temirgaliev, Embeddings of the classes Hω in Lorentz spaces, Sib. Math. J. 24 (2), 287–298 (1983). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00968743Г. Акишев, Теоремы вложения пространств со смешанной логарифмической гладкостью, Традиционная международная апрельская математическая конференция в честь Дня науки Республики Казахстан: Тезисы докладов, 60–62 (2023).G. Akishev, Embedding theorems for spaces with mixed logarithmic smoothness, Traditional International April Mathematical Conference In Honor of the Kazakhstan Day of science workers, 60–62 (2023).Г. Акишев, О порядках приближения функций многих переменных в пространстве Лоренца, Тр. ИММ УрО РАН 22 (4), 13–28 (2016). DOI: https://doi.org/10.21538/0134-4889-2016-22-4-13-28G. Akishev, On approximation orders of functions of several variables in the Lorentz space, Proc. Steklov Inst. Math. 300 (Suppl 1), 9–24 (2018). DOI: https://doi.org/10.1134/S0081543818020037H. Johansson, Embedding of Hω in some Lorentz spaces, Research Reports. Univ. Ume˚a, Report No. 6 (1975).H. Johansson, Embedding of Hωin some Lorentz spaces, Research Reports. Univ. Ume˚a, Report No. 6 (1975).G. Akishev, Estimates of the order of approximation of functions of several variables in the generalized Lorentz space, Preprint: arXiv: 2105.14810v1 (2021). URL: https://arxiv.org/abs/2105.14810G. Akishev, Estimates of the order of approximation of functions of several variables in the generalized Lorentz space, Preprint: arXiv: 2105.14810v1 (2021). URL: https://arxiv.org/abs/2105.14810M.K. Potapov, B.V. Simonov, S.Yu. Tikhonov, Mixed moduli of smoothness in Lp, 1 < p < ∞: a survey, Surveys in Approximation Theory 8, 1–57 (2013). URL: https://www.emis.de/journals/SAT/papers/18/index.htmlM.K. Potapov, B.V. Simonov, S.Yu. Tikhonov, Mixed moduli of smoothness in Lp, 1 < p < ∞: a survey, Surveys in Approximation Theory 8, 1–57 (2013). URL: https://www.emis.de/journals/SAT/papers/18/index.htmlВ.Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производной, Тр. МИАН СССР 178, 3–113 (1986). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm2107V.N. Temlyakov, Approximation of functions with bounded mixed derivative, Proc. Steklov Inst. Math. 178, 1–121 (1989).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.