matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2024.2.30-46matatecs-43Research ArticleСТАТЬИМонотонно линейно связные множества в геометрической теории приближения и ее приложенияхMonotone path-connected sets in geometric approximation theory and their applicationsАлимовА. Р.AlimovA. R.

Алексей Ростиславович Алимов 

Ленинские горы, д. 1, г. Москва, 119991

Alexey Rostislavovich Alimov

1 Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russia

alexey.alimov-msu@yandex.ruЦарьковИ. Г.Tsar’kovI. G.

Игорь Германович Царьков 

Ленинские горы, д. 1, г. Москва, 119991

Igor’ Germanovich Tsar’kov 

1 Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russia

 

tsar@mech.math.msu.suМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский Центр фундаментальной и прикладной математикиРоссияLomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied MathematicsRussian Federation202428072024223046Copyright © Алимов А.Р., Царьков И.Г., 20242024Алимов А.Р., Царьков И.Г.Alimov A.R., Tsar’kov I.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/43

В последнее время активно развивается направление геометрической теории приближений, связанное с понятием монотонных множеств. Особенно полезным в различных приложениях является понятие монотонно линейно связного множества. Цель настоящей работы – дать краткий, но емкий обзор по этой проблематике, а также показать взаимосвязь с ключевыми свойствами приближающих множеств. К таким свойствам относятся характеристики элементов наилучшего приближения, а также свойства единственности и устойчивости.

Monotone sets have been quite actively studied in recent years in geometric approximation theory. The concept of monotone path-connected sets has proved especially useful. The purpose of the present paper is to give a short but comprehensive survey on this topic; we also illustrate relations with key properties of approximating sets, of which we consider characterizations of best approximants, and properties of uniqueness and stability.

монотонно линейно связное множествочебышевское множествосолнценаилучшее приближениеустойчивость наилучшего приближенияассоциированная нормаmonotone path-connected setChebyshev setsunbest approximationstability of best approximationassociated normThe work was carried at M.V. Lomonosov Moscow State University at the expense of a grant by the Russian Science Foundation (project No. 22-11-00129).ReferencesA.R. Alimov, I.G. Tsar’kov, Geometric approximation theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Cham, 2021. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-90951-2A.R. Alimov, I.G. Tsar’kov, Geometric approximation theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Cham, 2021. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-90951-2D. Braess, Nonlinear approximation theory, Springer Ser. Comput. Math., vol. 7, Springer, Berlin, 1986. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-642-61609-9D. Braess, Nonlinear approximation theory, Springer Ser. Comput. Math., vol. 7, Springer, Berlin, 1986. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-642-61609-9А.Р. Алимов, К.С. Рютин, И.Г. Царьков, Вопросы существования, единственности и устойчивости наилучших и почти наилучших приближений, УМН 78 (3), 3–52 (2023). DOI: https://doi.org/10.4213/rm10113A.R. Alimov, K.S. Ryutin, I.G. Tsar’kov, Existence, uniqueness, and stability of best and near-best approximations, Russ. Math. Surv. 78 (3), 399–442 (2023). DOI: https://doi.org/10.4213/rm10113eЛ.П. Власов, Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах, УМН 28 (6), 3–66 (1973). URL: http://mi.mathnet.ru/rus/rm4976L. P. Vlasov, Approximative properties of sets in normed linear spaces, Russ. Math. Surv. 28 (6), 1–66 (1973). DOI: https://doi.org/10.1070/rm1973v028n06abeh001624A.L. Brown, Suns in normed linear spaces which are fi dimensional, Math. Ann. 279 (1), 87–101 (1987). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01456192A.L. Brown, Suns in normed linear spaces which are fi dimensional, Math. Ann. 279 (1), 87–101 (1987). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01456192А.Р. Алимов, И.Г. Царьков, Современная геометрическая теория приближений, ОнтоПринт, М., 2023.A. R. Alimov, I. G. Tsar’kov, Modern geometric approximation theory, OntoPrint, Moscow, 2023 (in Russian).M. Fabian, P. Habala, P. Ha´jek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach space theory. The basis for linear and nonlinear analysis, Springer, New York, 2011. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7515-7M. Fabian, P. Habala, P. Ha´jek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach space theory. The basis for linear and nonlinear analysis, Springer, New York, 2011. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7515-7A.R. Alimov, The Rainwater–Simons weak convergence theorem for the Brown associated norm, Eurasian Math. J. 5 (2), 126–131 (2014). URL: http://mi.mathnet.ru/rus/emj159A.R. Alimov, The Rainwater–Simons weak convergence theorem for the Brown associated norm, Eurasian Math. J. 5 (2), 126–131 (2014). URL: http://mi.mathnet.ru/rus/emj159А.Р. Алимов, Монотонная линейная связность и солнечность связных по Менгеру множеств в банаховых пространствах, Изв. РАН. Сер. матем. 78 (4), 3–18 (2014). DOI: https://doi.org/10.4213/im8128A.R. Alimov, Monotone path-connectedness and solarity of Menger-connected sets in Banach spaces, Izv. Math. 78 (4), 641–655 (2014). DOI: https://doi.org/10.1070/IM2014v078n04ABEH002702И.Г. Царьков, Свойства монотонно связных множеств, Матем. заметки 109 (5), 781–792 (2021). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12890I.G. Tsar’kov, Properties of monotone connected sets, Math. Notes 109 (5), 819–827 (2021). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12890D. Braess, Geometrical characterizations for nonlinear uniform approximation, J. Approx. Theory 11 (3), 260–274 (1974). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(74)90018-5D. Braess, Geometrical characterizations for nonlinear uniform approximation, J. Approx. Theory 11 (3), 260–274 (1974). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(74)90018-5H. Berens, L. Hetzelt, Die metrische Struktur der Sonnen in ℓ∞(n), Aequat. Math. 27 (13), 274–287 (1984). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02192677H. Berens, L. Hetzelt, Die metrische Struktur der Sonnen in ℓ∞(n), Aequat. Math. 27 (3), 274–287 (1984). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02192677А.Р. Алимов, Б.Б. Беднов, Монотонная линейная связность чебышевских множеств в трехмерных пространствах, Матем. сб. 212 (5), 37–57 (2021). DOI: https://doi.org/10.4213/sm9325A.R. Alimov, B.B. Bednov, Monotone path-connectedness of Chebyshev sets in threedimensional spaces, Sb. Math. 212 (5), 636–654 (2021). DOI: https://doi.org/10.1070/SM9325Б.Б. Беднов, Конечномерные пространства, в которых класс чебышевских множеств совпадает с классом замкнутых и монотонно линейно связных множеств, Матем. заметки 111 (4), 483–493 (2022). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13314B.B. Bednov, Finite-dimensional spaces where the class of Chebyshev sets coincides with the class of closed and monotone path-connected sets, Math. Notes 111 (4), 505–514 (2022). DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462203018XБ.Б. Беднов, Трехмерные пространства, в которых каждое ограниченное чебышевское множество монотонно линейно связно, Матем. заметки 114 (3), 323–338 (2023). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13569B.B. Bednov, Three-dimensional spaces where all bounded Chebyshev sets are monotone path connected, Math. Notes 114 (3), 283–295 (2023). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090018E.A. Савинова, Множества в Rn, монотонно линейно связные в некоторой норме, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. (1), 53–55 (2023). DOI: https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-2023-1-53-55E.A. Savinova, Sets in Rn monotone path-connected with respect to some norm, Moscow Univ. Math. Bull. 78 (1), 49–51 (2023). DOI: https://doi.org/10.3103/S0027132223010084П.А. Бородин, E.A. Савинова, Всякая чебышевская кривая без самопересечений монотонна, Матем. заметки (принята к печати).P.A. Borodin, E.A. Savinova, Each Chebyshev curve without self-intersections is monotone, Math. Notes (to appear).A.R. Alimov, Monotone path-connectedness of strict suns, Lobachevskii J. Math. 43 (2), 519–527 (2022). DOI: http://doi.org/10.1134/S1995080222060038A.R. Alimov, Monotone path-connectedness of strict suns, Lobachevskii J. Math. 43 (2), 519–527 (2022). DOI: http://doi.org/10.1134/S1995080222060038A.R. Alimov, I.G. Tsar’kov, Solarity and proximinality in generalized rational approximation in spaces C(Q) and Lp, Russian J. Math. Physics 29 (3), 291–305 (2022). DOI: https://doi.org/10.1134/S1061920822030013A.R. Alimov, I.G. Tsar’kov, Solarity and proximinality in generalized rational approximation in spaces C(Q) and Lp, Russian J. Math. Physics 29 (3), 291–305 (2022). DOI: https://doi.org/10.1134/S1061920822030013

The authors declare that there are no conflicts of interest present.