matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2024.3.4-28matatecs-50Research ArticleСТАТЬИМало квазипроективные модулиSmall quasi-projective modulesАбызовА. Н.AbyzovА. N.Адель Наилевич Абызов

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

Adel Nailevich Abyzov

18 Kremlyovskaya str., Kazan 420008

Adel.Abyzov@kpfu.ruБуйТ. Д.BuiT. D.Буй Тиен Дат

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

ул. Нгуен Ван Ку, д. 256, г. Кантхо, Вьетнам

Bui Tien Dat

18 Kremlyovskaya str., Kazan 420008

256 Nguyen Van Cu str., Can Tho, Vietnam

Казанский (Приволжский) федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian FederationКазанский (Приволжский) федеральный университет; Факультет информационных технологий, Технологический университет КантхоРоссияKazan Federal University; Can Tho University of TechnologyRussian Federation20241910202423428Copyright © Абызов А.Н., Буй Т.Д., 20242024Абызов А.Н., Буй Т.Д.Abyzov А.N., Bui T.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/50

Исследованы мало квазипроективные модули и близкие к ним классы модулей. Понятие мало квазипроективного модуля двойственно к понятию существенно квазиинъективного модуля, которое в последнее время было изучено в ряде работ. Показано, что над совершенными справа кольцами класс мало квазипроективных правых модулей совпадает с рядом классов правых модулей, близких к проективным, исследованных в статье. В качестве следствия полученных результатов приведена хорошо известная теорема А.А. Туганбаева о совпадении классов квазипроективных правых модулей и эндоморфизм-поднимаемых правых модулей над совершенными справа кольцами. Также получены характеризации модулей M, для которых в категории σ[M ] каждый (конечнопорожденный, циклический, полупростой, простой) модуль является малопроективным в σ[M ]. 

We study small quasi-projective modules and closely related classes of modules. The concept of a small quasi-projective module is dual to the concept of an essentially quasi-injective module, which has recently been studied in several works. It is shown that over right perfect rings, the class of small quasi-projective right modules coincides with a number of classes of right modules close to projective modules, which are studied in the article. As a consequence of the obtained results, the well-known A.A. Tuganbaev’s theorem on the coincidence of the classes of quasi-projective right modules and endomorphism-lifting right modules over right perfect rings is presented. Also, characterizations are obtained for modules M , for which in the category σ[M ] every (finitely generated, cyclic, semisimple, simple) module is small projective in σ[M ].

существенно инъективные модулимало проективные модулимало эндоморфизм поднимаемые модулисовершенные кольцаessentially injective modulessmall projective modulessmall endomorphism-liftable modulesperfect ringsThe work is supported by the Russian Science Foundation (grant no. 22-21-00267).ReferencesR.E. Johnson, E.T. Wong, Quasi-injective modules and irreducible rings, J. London Math. Soc. 36, 260–268 (1961). DOI: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-36.1.260R.E. Johnson, E.T. Wong, Quasi-injective modules and irreducible rings, J. London Math. Soc. 36, 260–268 (1961). DOI: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-36.1.260A.A. Tuganbaev, Semidistributive modules and rings, Mathematics and its Applications 449, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998. DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-011-5086-6A.A. Tuganbaev, Semidistributive modules and rings, Mathematics and its Applications 449, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998. DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-011-5086-6А.А. Туганбаев, Характеризации колец, использующие малоинъективные и малопроективные модули, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика (3), 48–51 (1979).A.A. Tuganbaev, Characterizations of rings using skew-injective and skew-projective modules, Moscow Univ. Math. Bull. (3), 48–51 (1979) [in Russian].S.E. Dickson, K.R. Fuller, Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope, Pac. J. Math. 31 (3), 655–658 (1969). DOI: https://doi.org/10.2140/pjm.1969.31.655S.E. Dickson, K.R. Fuller, Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope, Pac. J. Math. 31 (3), 655–658 (1969). DOI: https://doi.org/10.2140/pjm.1969.31.655S. Singh, A.K. Srivastava, Dual automorphism-invariant modules, J. Algebra 371, 262–275 (2012). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2012.08.012S. Singh, A.K. Srivastava, Dual automorphism-invariant modules, J. Algebra 371, 262–275 (2012). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2012.08.012A.N. Abyzov, T.C. Quynh, Lifting of automorphisms of factor modules, Comm. Algebra 46 (11), 5073–5082 (2018). DOI: https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1461884A.N. Abyzov, T.C. Quynh, Lifting of automorphisms of factor modules, Comm. Algebra 46 (11), 5073–5082 (2018). DOI: https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1461884A.N. Abyzov, T.C. Quynh, N.T.T. Ha, T. Yildirim, Modules close to the automorphism invariant and coinvariant, J. Algebra Appl. 18 (12), art. 1950235 (2019). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498819502359A.N. Abyzov, T.C. Quynh, N.T.T. Ha, T. Yildirim, Modules close to the automorphism invariant and coinvariant, J. Algebra Appl. 18 (12), art. 1950235 (2019). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498819502359А.Н. Абызов, Т.Д. Буй, Существенно квазиинъективные модули и их прямые суммы, Изв. вузов. Матем. (7), 9–23 (2024). DOI: https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-7-9-23A.N. Abyzov, T.D. Bui, Essentially quasi-injective modules and their direct sums, Russian Mathematics (Iz. VUZ) (7), 9–23 (2024) [in Russian]. DOI: https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-7-9-23А.А. Туганбаев, Теория колец. Арифметические модули и кольца, МЦНМО, М., 2009.A.A. Tuganbaev, Ring theory. Arithmetic modules and rings, MCCME, Moscow, 2009 [in Russian].R. Wisbauer, Foundations of module and ring theory. A handbook for study and research, Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia, PA, 1991. DOI: https://doi.org/10.1201/9780203755532R. Wisbauer, Foundations of module and ring theory. A handbook for study and research, Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia, PA, 1991. DOI: https://doi.org/10.1201/9780203755532Ф. Каш, Модули и кольца, Мир, М., 1981.F. Kasch, Modules and rings, London Mathematical Society Monographs 17, Academic Press, Inc., London–New York, 1982.J. Clark, C. Lomp, N. Vanaja, R. Wisbauer, Lifting modules. Supplements and projectivity in module theory, Birkh¨auser Verlag, Basel, 2006. DOI: https://doi.org/10.1007/3-7643-7573-6J. Clark, C. Lomp, N. Vanaja, R. Wisbauer, Lifting modules. Supplements and projectivity in module theory, Birkh¨auser Verlag, Basel, 2006. DOI: https://doi.org/10.1007/3-7643-7573-6A.N. Abyzov, B.T. Dat, T.C. Quynh, Small dual-ADS modules, small ADS# and small ADS* modules, Lobachevskii J. Math. 44 (12), 5097–5115 (2023). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223120028A.N. Abyzov, B.T. Dat, T.C. Quynh, Small dual-ADS modules, small ADS# and small ADS* modules, Lobachevskii J. Math. 44 (12), 5097–5115 (2023). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223120028P.A. Guil Asensio, D. Keskin Tu¨tu¨ncu¨, B. Kalebo˜gaz, A.K. Srivastava, Modules which are coinvariant under automorphisms of their projective covers, J. Algebra 466, 147–152 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.08.004P.A. Guil Asensio, D. Keskin Tu¨tu¨ncu¨, B. Kalebo˜gaz, A.K. Srivastava, Modules which are coinvariant under automorphisms of their projective covers, J. Algebra 466, 147–152 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.08.004A.A. Tuganbaev, Arithmetical rings and endomorphisms, De Gruyter, Berlin, 2019. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110659825A.A. Tuganbaev, Arithmetical rings and endomorphisms, De Gruyter, Berlin, 2019. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110659825А.Н. Абызов, Ч.К. Куинь, А.А. Туганбаев, Модули, инвариантные относительно автоморфизмов и идемпотентных эндоморфизмов своих оболочек и накрытий, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 159, 3–45 (2019). URL: https://www.mathnet.ru/rus/into414A.N. Abyzov, T.C. Quynh, A.A. Tuganbaev, Modules that are invariant with respect to automorphisms and idempotent endomorphisms of their hulls and covers, J. Math. Sci. 256 (3), 235–277 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-021-05427-x]A.A. Tuganbaev, Automorphism-liftable modules, J. Algebra Appl. 21 (6), art. 2250106 (2022). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498822501067A.A. Tuganbaev, Automorphism-liftable modules, J. Algebra Appl. 21 (6), art. 2250106 (2022). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498822501067

The authors declare that there are no conflicts of interest present.