matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университетmatatecs-6Research ArticleСТАТЬИБиллиарды переменной конфигурации и биллиарды с проскальзыванием в гамильтоновой геометрии и топологииBilliards of variable configuration and billiards with slippage in Hamiltonian geometry and topologyФоменкоА. Т.FomenkoA. T.

механико-математический факультет

Ленинские горы, д. 1, г. Москва, 119991

Faculty of Mechanics and Mathematics1 Leninskie Gory, Moscow, 119991

atfomenko@mail.ruМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияMoscow State UniversityRussian Federation202331102023114968Copyright © Фоменко А.Т., 20232023Фоменко А.Т.Fomenko A.T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/6

Обнаружен класс биллиардов, геометрия которых может меняться при изменении энергии шара, движущегося по «биллиардному столу». Такие биллиарды названы силовыми или эволюционными. Они позволяют реализовать важные интегрируемые гамильтоновы системы (с двумя степенями свободы) сразу на всем фазовом 4-мерном пространстве системы, т. е. одновременно на всех регулярных изоэнергетических 3-мерных поверхностях. Автор и В.В. Ведюшкина доказали, что силовые биллиарды реализуют интегрируемые случаи Эйлера и Лагранжа в динамике тяжелого тела в трехмерном пространстве. Обнаружено, что эти две известные системы «биллиардно эквивалентны», хотя обладают интегралами разных степеней – квадратичным (Эйлер) и линейным (Лагранж).

A class of billiards is found, the geometry of which can change with a change in the energy of a ball moving on a «billiard table». Such billiards are called force or evolutionary. They make it possible to implement important integrable Hamiltonian systems (with two degrees of freedom) on the entire phase 4-dimensional space of the system at once. That is, simultaneously on all regular isoenergetic 3-dimensional surfaces. The author and V.V. Vedyushkina proved that force billiards implement the Euler and Lagrange integrable cases in the dynamics of a heavy body in three-dimensional space. It is found that these two well-known systems «billiard equivalent», although they have integrals of different degrees – quadratic (Euler) and linear (Lagrange).

силовые биллиардыинтегрируемая гамильтонова системаслучаи Эйлера и Лагранжаforce billiardsintegrable Hamiltonian systemsEuler and Lagrange casesReferencesВ. В. Ведюшкина, А. Т. Фоменко, Силовые эволюционные биллиарды и биллиардная эквивалентность случая Эйлера и случая Лагранжа, Докл. РАН 496 (1), 5–9 (2021). DOI: https://doi.org/10.31857/S268695432101015XA. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, Force evolutionary billiards and billiard equivalence of the Euler and Lagrange cases, Dokl. Math. 103, 1–4 (2021). DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562421010154A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, Billiards with changing geometry and their connection with the implementation of the Zhukovsky and Kovalevskaya cases, Russ. J. Math. Phys. 28 (3), 317–332 (2021). DOI: https://doi.org/10.1134/S1061920821030055A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, Billiards with changing geometry and their connection with the implementation of the Zhukovsky and Kovalevskaya cases, Russ. J. Math. Phys. 28 (3), 317–332 (2021). DOI: https://doi.org/10.1134/S1061920821030055В. В. Ведюшкина, И. С. Харчева, Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем, Матем. сб. 209 (12), 17–56 (2018). DOI: https://doi.org/10.4213/sm9039V. V. Vedyushkina, I. S. Kharcheva, Billiard books model all three-dimensional bifurcations of integrable Hamiltonian systems, Sb. Math. 209 (12), 1690–1727 (2018). DOI: https://doi.org/10.1070/SM9039И. С. Харчева, Изоэнергетические многообразия бильярдных книжек, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. (4), 12–22 (2020). URL: http://mi.mathnet.ru/vmumm4336Kharcheva, I.S. Isoenergetic Manifolds of Integrable Billiard Books, Moscow Univ. Math. Bull. 75 (4), 149–160 (2020) DOI: https://doi.org/10.3103/S0027132220040026А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкина, Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. (3), 15–25 (2019). URL: http://mi.mathnet.ru/vmumm624A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, Billiards and Integrability in Geometry and Physics. New Scope and New Potential, Moscow Univ. Math. Bull. 74 (3), 98–107 (2019). DOI: https://doi.org/10.3103/S0027132219030021A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, V. N. Zav’yalov, Liouville foliations of topological billiards with slipping, Russ. J. Math. Phys. 28 (1), 37–55 (2021). DOI: http://doi.org/10.1134/S1061920821010052A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, V. N. Zav’yalov, Liouville foliations of topological billiards with slipping, Russ. J. Math. Phys. 28 (1), 37–55 (2021). DOI: http://doi.org/10.1134/S1061920821010052

The authors declare that there are no conflicts of interest present.