Сергей Михайлович Дудаков
ул. Желябова, д. 33, г. Тверь, 170100;
ул. Усачева, д. 6, г. Москва, 119048
Sergey Mikhailovich Dudakov
33 Zhelyabova str., Tver 170100;
6 Usacheva str., Moscow 119048
Мы изучаем аддитивную теорию произвольных фигур в линейных пространствах, т.е. теорию множеств точек/векторов, на которые естественным образом распространена операция сложения. Наш основной результат: если линейное пространство бесконечно, то аддитивная теория фигур в нем позволяет интерпретировать арифметику второго порядка и, следовательно, имеет не меньшую степень неразрешимости. Для счетно бесконечных пространств мы доказываем обратный результат: теория фигур в них может быть проинтерпретирована в арифметике второго порядка, следовательно, две такие теории алгоритмически эквивалентны. Для несчетных пространств последний вопрос остается открытым; мы показываем, что для пространств разных мощностей аддитивные теории фигур в них могут не быть элементарно эквивалентны.
We study the additive theory of arbitrary figures in linear spaces, that is, the theory of addition extended to sets of vectors. Our main result is the following: if a linear space is infinite, then the additive theory of figures allows to interpret second-order arithmetic and, therefore, has this or higher degree of undecidability. For countably infinite spaces, we prove the opposite result, the theory of figures can be interpreted in second-order arithmetic. Therefore, these theories are algorithmically equivalent. For uncountable spaces, the last question remains open. We show that for spaces of different cardinalities, the additive theories of figures can be elementary non-equivalent.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.