matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2024.4.66-102matatecs-64Research ArticleСТАТЬИОтделимые нумерации универсальных алгебрSeparable numberings of universal algebrasКасымовН. Х.KasymovN. Kh.

Надимулла Хабибуллаевич Касымов

ул. Университетская, д. 4, г. Ташкент, 100174

Nadimulla Khabibullaevich Kasymov

4 Universitetskaya str., Tashkent 100174

nadim59@mail.ruНациональный университет Узбекистана им. Мирзо УлугбекаУзбекистанNational University of UzbekistanUzbekistan2024240120252466102Copyright © Касымов Н.Х., 20252025Касымов Н.Х.Kasymov N.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/64

В обзоре излагаются основы теории отделимых нумераций универсальных алгебр.

 The review outlines the foundations of the theory of separable numberings of universal algebras.

отделимо нумерованная алгебраэффективно отделимая нумерациянегативная и эффективно отделимая аппроксимируемостьтрансляционно полная и предполная алгебратопологическая нумерованная алгебраподпрямая неразложимостьартинова решетка конгруэнцийалгебраические и логические спецификации структуры данныхseparable numbered algebraeffectively separable numberingnegative and effectively separable approximabilitytranslationally complete and pre-complete algebratopological numbered algebrasubdirect indecomposabilityArtinian congruence latticealgebraic and logical data structure specificationsРабота выполнена в рамках реализации Программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2024-1438).The work is performed under the development program of Volga Region Mathematical Center (agreement no. 075-02-2024-1438).ReferencesА.И. Мальцев, Конструктивные алгебры. I, УМН 16 (3), 3–60 (1961). URL: https://www.mathnet.ru/rus/rm6619A.I. Malt’sev, Constructive algebras. I, Russian Math. Surveys, 16 (3), 77–129 (1961). DOI: https://doi.org/10.1070/rm1961v016n03abeh001120Ю.Л. Ершов, Проблемы разрешимости и конструктивные модели, Наука, М., 1980.Yu.L. Ershov, Decidability problems and constructive models, Nauka, M., 1980 [in Russian].Yu.L. Ershov, Theory of numberings, in: E.R.Griffor (ed.), Handbook of computability theory (Stud. Logic Found. Math., 140), Elsevier, Amsterdam, 1999, 473–503. DOI: https://doi.org/10.1016/S0049-237X(99)80030-5Yu.L. Ershov, Theory of numberings, in: E.R.Griffor (ed.), Handbook of computability theory (Stud. Logic Found. Math., 140), Elsevier, Amsterdam, 1999, 473–503. DOI: https://doi.org/10.1016/S0049-237X(99)80030-5С.С. Гончаров, Ю.Л. Ершов, Конструктивные модели, Научная книга, Новосибирск, 1999.S.S. Goncharov, Yu.L. Ershov, Constructive Models, Siberian School of Algebra and Logic. Consultants Bureau, New York, 2000.Н.Г. Хисамиев, Арифметическая иерархия абелевых групп, Сиб. матем. журн. 29 (6), 144–159 (1988). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj7527N.G. Khisamiev, Arithmetic hierarchy of abelian groups, Siberian Math. J. 29 (6), 987–999 (1988). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00972425С.П. Одинцов, В.Л. Селиванов, Арифметическая иерархия и идеалы нумерованных булевых алгебр, Сиб. матем. журн. 30 (6), 140–149 (1989). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj4672S.P. Odintsov, V.L. Selivanov, Arithmetic hierarchy and ideals of enumerated Boolean algebras, Siberian Math. J. 30 (6), 952–960 (1989). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00970918В.А. Успенский, О вычислимых операциях, ДАН СССР 103 (5), 773–776 (1955). URL: https://archive.org/details/uspensky-1955-dan-103-5-computable-operations/Uspensky_1955_DAN_103_5_Typeset_by_Zolin/mode/2upV.A. Uspenskii, On computable operations, Dokl. AN SSSR 103 (5), 773–776 (1955) [in Russian]. URL: https://archive.org/details/uspensky-1955-dan-103-5-computable-operations/Uspensky_1955_DAN_103_5_Typeset_by_Zolin/mode/2upВ.А. Успенский, Системы перечислимых множеств и их нумерации, ДАН СССР 105 (6), 1155–1158 (1955). URL: https://archive.org/details/uspensky-1955-dan-105-6-enumerable-sets-numerations/Uspensky_1955_DAN_105_6_Typeset_by_Zolin/mode/2upV.A. Uspenskii, Systems of denumerable sets and their enumeration, Dokl. AN SSSR 105 (6), 1155–1158 (1955) [in Russian]. URL: https://archive.org/details/uspensky-1955-dan-105-6-enumerable-sets-numerations/Uspensky_1955_DAN_105_6_Typeset_by_Zolin/mode/2upA. Nerode, General topology and partial recursive functionals, Summaries Summer Inst. Symbolic Logic 1957, 247–251 (1960).A. Nerode, General topology and partial recursive functionals, Summaries Summer Inst. Symbolic Logic 1957, 247–251 (1960).А.И. Мальцев, К теории вычислимых семейств объектов, Алгебра и логика 3 (4), 5–31 (1964). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al1010A.I. Mal’tsev, On the theory of computable families of objects, Algebra Logic 3 (4), 5–31 (1964) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/al1010Ю.Л. Ершов, Теория нумераций, Наука, М., 1977.Yu.L. Ershov, Theory of numberings, Nauka, M., 1977 [in Russian].Н.Х. Касымов, Рекурсивно отделимые нумерованные алгебры, УМН 51 (3), 145–176 (1996). DOI: https://doi.org/10.4213/rm971N.Kh. Kasymov, Recursively separable enumerated algebras, Russian Math. Surveys 51 (3), 509–538 (1996). DOI: https://doi.org/10.1070/RM1996v051n03ABEH002913А.И. Мальцев, Позитивные и негативные нумерации, ДАН СССР 160 (2), 278–280 (1965). URL: https://www.mathnet.ru/rus/dan30557A.I. Mal’tsev, Positive and negative enumerations, Dokl. AN SSSR 160 (2), 278–280 (1965) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/dan30557А.С. Морозов, Об одном вопросе Хигмэна, Алгебра и логика 29 (1), 29–34 (1990). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al2089A.S. Morozov, A question of Higman, Algebra Logic 29 (1), 22–26 (1990). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01980217W. Baur, Rekursive Algebren mit Kettenbedingungen, Z. Math. Logik Grundlag. Math. 20 (1–3), 37–46 (1974). DOI: https://doi.org/10.1002/malq.19740200105W. Baur, Rekursive Algebren mit Kettenbedingungen, Z. Math. Logik Grundlag. Math. 20 (1–3), 37–46 (1974). DOI: https://doi.org/10.1002/malq.19740200105W. Baur, Über rekursive Strukturen, Invent. Math. 23 (2), 89–95 (1974). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01405162W. Baur, Über rekursive Strukturen, Invent. Math. 23 (2), 89–95 (1974). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01405162В.А. Успенский, А.Л. Семенов, Теория алгоритмов: основные открытия и приложения, Наука, М., 1987.V.A. Uspenskii, A.L. Semenov, Algorithm theory: key discoveries and applications, Nauka, M., 1987 [in Russian].J.C.C. McKinsey, The decision problem for some classes of sentences without quantifiers, J. Symbol. Logic 8 (3), 61–76 (1943). DOI: https://doi.org/10.2307/2268172J.C.C. McKinsey, The decision problem for some classes of sentences without quantifiers, J. Symbol. Logic 8 (3), 61–76 (1943). DOI: https://doi.org/10.2307/2268172J.A. Bergstra, J.V. Tucker, A characterization of computable data types by means of a finite, equational specification method, Lecture Notes in Comput. Sci. 85, 76–90 (1980). DOI: https://doi.org/10.1007/3-540-10003-2_61J.A. Bergstra, J.V. Tucker, A characterization of computable data types by means of a finite, equational specification method, Lecture Notes in Comput. Sci. 85, 76–90 (1980). DOI: https://doi.org/10.1007/3-540-10003-2_61Н.Х. Касымов, О гомоморфизмах на негативные алгебры, Алгебра и логика 31 (2), 132–144 (1992). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al2186N.Kh. Kasymov, Homomorphisms onto negative algebras, Algebra Logic 31 (2), 81–89 (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02259847Н.Х. Касымов, О гомоморфизмах на эффективно отделимые алгебры, Сиб. матем. журн. 57 (1), 47–66 (2016). DOI: https://doi.org/10.17377/smzh.2016.57.105N.Kh. Kasymov, Homomorphisms onto effectively separable algebras, Siberian Math. J. 57 (1), 36–50 (2016). DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446616010055Н.Х. Касымов, Об одной двойственной задаче теории конструктивных моделей, Вычисл. системы 129, 137–143 (1989). URL: https://zbmath.org/1052.03527N.Kh. Kasymov, A dual problem in the theory of constructive models, Vychisl. Sist. 129, 137–143 (1989) [in Russian]. URL: https://zbmath.org/1052.03527U. Andrews, S. Lempp, J.S. Miller, K.M. Ng, L.S. Mauro, A. Sorbi, Universal computably enumerable equivalence relations, J. Symb. Logic 79 (1), 60–88 (2014). DOI: http://doi.org/10.1017/jsl.2013.8U. Andrews, S. Lempp, J.S. Miller, K.M. Ng, L.S. Mauro, A. Sorbi, Universal computably enumerable equivalence relations, J. Symb. Logic 79 (1), 60–88 (2014). DOI: http://doi.org/10.1017/jsl.2013.8U.Andrews, A. Sorbi, Joins and meets in the structure of ceers, Computability 8 (3–4), 193–241 (2019). DOI: https://doi.org/10.3233/COM-180098U. Andrews, A. Sorbi, Joins and meets in the structure of ceers, Computability 8 (3–4), 193–241 (2019). DOI: https://doi.org/10.3233/COM-180098U. Andrews, D.F. Belin, L. San Mauro, On the structure of computable reducibility on equivalence relations of natural numbers, J. Symb. Logic 88 (3), 1038–1063 (2023). DOI: https://doi.org/10.1017/jsl.2022.28U. Andrews, D.F. Belin, L. San Mauro, On the structure of computable reducibility on equivalence relations of natural numbers, J. Symb. Logic 88 (3), 1038–1063 (2023). DOI: https://doi.org/10.1017/jsl.2022.28Н.Х. Касымов, Ф.Н. Ибрагимов, Отделимые нумерации тел и эффективная вложимость в них колец, Сиб. матем. журн. 60 (1), 82–94 (2019). DOI: https://doi.org/10.33048/smzh.2019.60.107N.Kh. Kasymov, F.N. Ibragimov, Separable enumerations of division rings and effective embeddability of rings therein, Siberian Math. J. 60 (1), 62–70 (2019). DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446619010075Н.Х. Касымов, А.С. Морозов, И.А. Ходжамуратова, О T<sub>1</sub>-отделимых нумерациях подпрямо неразложимых алгебр, Алгебра и логика 60 (4), 400–424 (2021). DOI: https://doi.org/10.33048/alglog.2021.60.402N.Kh. Kasymov, A.S. Morozov, I.A. Khodzhamuratova, T<sub>1</sub>-separable numberings of subdirectly indecomposable algebras, Algebra Logic 60 (4), 263–278 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s10469-021-09651-xН.Х. Касымов, Р.Н. Дадажанов, С.Л. Джавлиев, Uniform m-equivalences and numberings of classical systems, Сиб. электрон. матем. известия 19 (1), 49–65 (2022). DOI: http://doi.org/10.33048/semi.2022.19.005N.Kh. Kasymov, R.N. Dadazhanov, S.K. Zhavliev, Uniform m-equivalences and numberings of classical systems, Sib. Electron. Math. Rep. 19 (1), 49–65 (2022). DOI: http://doi.org/10.33048/semi.2022.19.005Н.Х. Касымов, Нумерованные алгебры с равномерно рекурсивно отделимыми классами, Сиб. матем. журн. 34 (5), 85–102 (1993). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj836N.Kh. Kasymov, Enumerated algebras with uniformly recursive-separable classes, Siberian Math. J. 34 (5), 869–882 (1993). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00971403Н.Х. Касымов, Позитивные алгебры с конгруэнциями конечного индекса, Алгебра и логика 30 (3), 293–305 (1991). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al2151N.Kh. Kasymov, Positive algebras with congruences of finite index, Algebra Logic 30 (6), 190–199 (1991). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01978852Н.Х. Касымов, Позитивные алгебры с нетеровыми решетками конгруэнций, Сиб. матем. журн. 33 (2), 181–185 (1992). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj3208N.Kh. Kasymov, Positive algebras with nonetherian congruence lattices, Siberian Math. J. 33 (2), 338–341 (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00971109Н.Х. Касымов, Позитивные алгебры со счетными решетками конгруэнций, Алгебра и логика 31 (1), 21–37 (1992). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al2179N.Kh. Kasymov, Positive algebras with countable congruence lattices, Algebra Logic 31 (1), 12–23 (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02259854Р.Н. Дадажанов, Н.Х. Касымов, И.А. Ходжамуратова, Равномерно вычислимо отделимые алгебры с эффективно расщепляемыми семействами негативных конгруэнций, Сиб. матем. журн. 63 (3), 562–575 (2022). DOI: https://doi.org/10.33048/smzh.2022.63.307R.N. Dadazhanov, N.Kh. Kasymov, I.A. Khodzhamuratova, Uniformly computably separable algebras with effectively splittable families of negative congruences, Siberian Math. J. 63 (3), 466–475 (2022). DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446622030077C.G. Jockusch, Semurecursive sets and positive reducibility, Trans. Amer. Math. Soc. 131 (2), 420–436 (1968). DOI: https://doi.org/10.2307/1994957C.G. Jockusch, Semurecursive sets and positive reducibility, Trans. Amer. Math. Soc. 131 (2), 420–436 (1968). DOI: https://doi.org/10.2307/1994957C.G. Jockusch, J.C. Owings, Weakly semirecursive sets, J. Symb. Logic 55 (2), 637–644 (1990). DOI: https://doi.org/10.2307/2274653C.G. Jockusch, J.C. Owings, Weakly semirecursive sets, J. Symb. Logic 55 (2), 637–644 (1990). DOI: https://doi.org/10.2307/2274653Н.Х. Касымов, А.С. Морозов, Нижние полурешетки отделимых конгруэнций нумерованных алгебр, Сиб. матем. журн. 64 (4), 753–769 (2023). DOI: https://doi.org/10.33048/smzh.2023.64.408N.Kh. Kasymov, A.S. Morozov, Lower semilattices of separable congruences of numbered algebras, Siberian Math. J. 64 (4), 864–876 (2023). DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446623040080Н.Х. Касымов, Вычислимо отделимые нумерации локально финитно отделимых алгебр, Сиб. электрон. матем. изв. 21 (1), 315–346 (2024). DOI: https://doi.org/10.33048/semi.2024.21.024N.Kh. Kasymov, Computably separable numberings of locally finite separable algebras, Sib. Electron. Math. Rep. 21 (1), 315–346 (2024) [in Russian]. DOI: https://doi.org/10.33048/semi.2024.21.024Н.Х. Касымов, Локально конечные и финитно аппроксимируемые уноиды над вычислимо отделимыми эквивалентностями, Математика и теоретические компьютерные науки 2 (1), 55–74 (2024). DOI: https://doi.org/10.26907/2949-3919.2024.1.55-73N.Kh. Kasymov, Locally finite and residually finite unoids over computably separable equivalences, MTCS 2 (1), 55–74 (2024) [in Russian]. DOI: https://doi.org/10.26907/2949-3919.2024.1.55-73Н.Х. Касымов, Аксиомы отделимости и разбиения натурального ряда, Сиб. матем. журн. 34 (3), 81–85 (1993). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj1654N.Kh. Kasymov, Separation axioms and partitions of the set of natural numbers, Siberian Math. J. 34 (3), 468–471 (1993). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00971221Н.Х. Касымов, И.А. Ходжамуратова, Топологические пространства над алгоритмическими представлениями универсальных алгебр, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 144, 17–29 (2018). URL: https://www.mathnet.ru/rus/into268N.Kh. Kasymov, I.A. Khodzhamuratova, Topological spaces over algorithmic representations of universal algebras, J. Math. Sci. 245 (3), 311–322 (2020). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-020-04692-6R.N. Dadazhanov, N.R. Karimova, N.Kh. Kasymov, Effective compacts over co-immune sets, Uzbek Math. J. 63 (3), 26–32 (2019). DOI: https://doi.org/10.29229/uzmj.2019-3-3R.N. Dadazhanov, N.R. Karimova, N.Kh. Kasymov, Effective compacts over co-immune sets, Uzbek Math. J. 63 (3), 26–32 (2019). DOI: https://doi.org/10.29229/uzmj.2019-3-3B. Khoussainov, T. Slaman, P. Semukhin, ∏<sup>0</sup><sub>1</sub>-Presentasions of Algebras, Arch. Math. Logic 45 (6), 769–781 (2006). DOI: https://doi.org/10.1007/s00153-006-0013-3B. Khoussainov, T. Slaman, P. Semukhin, ∏<sup>0</sup><sub>1</sub>-Presentasions of Algebras, Arch. Math. Logic 45 (6), 769–781 (2006). DOI: https://doi.org/10.1007/s00153-006-0013-3A.I. Malcev, On the immersion of an algebraic ring into a field, Math. Ann. 113 (1), 686–691 (1937). URL: https://doi.org/10.1007/BF01571659A.I. Malcev, On the immersion of an algebraic ring into a field, Math. Ann. 113 (1), 686–691 (1937). URL: https://doi.org/10.1007/BF01571659S. Kamin, Some definitions for algebraic data type specifications, SIGPLAN Notes 14 (3), 28–37 (1979). DOI: https://doi.org/10.1145/988071.988075S. Kamin, Some definitions for algebraic data type specifications, SIGPLAN Notes 14 (3), 28–37 (1979). DOI: https://doi.org/10.1145/988071.988075J.A. Goguen, J. Meseguer, Completeness of many-sorted equational logic, Houston J. Math. 11 (3), 307–334 (1985).J.A. Goguen, J. Meseguer, Completeness of many-sorted equational logic, Houston J. Math. 11 (3), 307–334 (1985).M. Broy, W. Dosch, H. Partsch, P. Pepper, M. Wirsing, Existential quantifiers in abstract data types, Lect. Notes in Comp. Sci. 71, 73–87, (1979). DOI: https://doi.org/10.1007/3-540-09510-1_7M. Broy, W. Dosch, H. Partsch, P. Pepper, M. Wirsing, Existential quantifiers in abstract data types, Lect. Notes in Comp. Sci. 71, 73–87, (1979). DOI: https://doi.org/10.1007/3-540-09510-1_7С.С. Гончаров, Модели данных и языки их описаний, Вычисл. системы 107, 52–70, (1985). URL: https://zbmath.org/0621.68020S.S. Goncharov, Data models and languages for their description, Trans. Amer. Math. Soc. 143, 139–152 (1989).Н.Х. Касымов, А.С. Морозов, Логические аспекты теории абстрактных типов данных, Вычисл. системы 122, 73–96 (1987). URL: https://zbmath.org/0712.68067N.Kh. Kasymov, A.S. Morozov, Logical aspects of the theory of abstract data types, Vychisl. Sist. 122, 73–96 (1987) [in Russian]. URL: https://zbmath.org/0712.68067M. Majster, Data types, abstract data types and their specification problem, Theor. Comp. Sci. 8 (1), 89–127 (1979). DOI: https://doi.org/10.1016/0304-3975(79)90059-8M. Majster, Data types, abstract data types and their specification problem, Theor. Comp. Sci. 8 (1), 89–127 (1979). DOI: https://doi.org/10.1016/0304-3975(79)90059-8D. Kapur, Specifications of Majster’s traversable stack and Veloso’s traversable stack, SIGPLAN Notes 14 (5), 46–53 (1979). DOI: https://doi.org/10.1145/988090.988096D. Kapur, Specifications of Majster’s traversable stack and Veloso’s traversable stack, SIGPLAN Notes 14 (5), 46–53 (1979). DOI: https://doi.org/10.1145/988090.988096Н.Х. Касымов, Об алгебрах с финитно аппроксимируемыми позитивно представимыми обогащениями, Алгебра и логика 26 (6), 715–730 (1987). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al1999N.Kh. Kasymov, Algebras with finitely approximable positively representable enrichments, Algebra Logic 26 (6), 441–450 (1987). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01988315J.W. Lloyd, Foundations of logic programming, Springer-Verlag, Berlin, 1987. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-83189-8J.W. Lloyd, Foundations of logic programming, Springer-Verlag, Berlin, 1987. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-83189-8Н.Х. Касымов, Позитивные модели и универсальные предложения, Вычисл. системы 133, 3–13 (1990). URL: https://zbmath.org/?q=an:0752.03016N.Kh. Kasymov, Positive models and universal propositions, Vychisl. Sist. 133, 3–13 (1990) [in Russian]. URL: https://zbmath.org/?q=an:0752.03016А.И. Мальцев, Алгебраические системы, Наука, М., 1970.A.I. Mal’cev, Algebraic Systems, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1973. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-65374-2А.И. Мальцев, Алгоритмы и рекурсивные функции, Наука, М., 1986.A.I. Mal’cev, Algorithms and recursive functions, Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen, 1970.Н.Х. Касымов, Ф.Н. Ибрагимов, Вычислимо отделимые модели, СМФН 64 (4), 682–705 (2018). DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2018-64-4-682-705N.Kh. Kasymov, F.N. Ibragimov, Computably separable models, J. Math. Sci. 264 (6), 746–767 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-022-06033-1Н.Х. Касымов, О числе Q-конгруэнций позитивных алгебр, Алгебра и логика 31 (3), 297–305 (1992). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al2194N.Kh. Kasymov, The number of Q-congruences in positive algebras, Algebra Logic 31 (3), 182–187 (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02259947N. Kasymov, N. Karimova, B. Khoussainov, Defining algorithmically presented structures in first-order logic, Proceedings of the 39th Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science, 1–13, art. No. 47 (2024). DOI: https://doi.org/10.1145/3661814.3662120N. Kasymov, N. Karimova, B. Khoussainov, Defining algorithmically presented structures in first-order logic, Proceedings of the 39th Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science, 1–13, art. No. 47 (2024). DOI: https://doi.org/10.1145/3661814.3662120Н.Х. Касымов, Б.М. Хусаинов, Конечно порожденные перечислимые и абсолютно локально конечные алгебры, Вычисл. системы 116, 3–15 (1986). URL: http://old.math.nsc.ru/journals/vs/vs-cont1.htmlN.Kh. Kasymov, B.M. Khoussainov, Finitely generated enumerable and absolutely locally finite algebras, Vychisl. Sist. 116, 3–15 (1986) [in Russian]. URL: https://zbmath.org/0646.03042Н.Х. Касымов, Об алгебрах над негативными эквивалентностями, Алгебра и логика 33 (1), 76–80 (1994). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al2257N.Kh. Kasymov, Algebras over negative equivalences, Algebra Logic 33 (1), 46–48 (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00739416Н.Х. Касымов, Логические спецификации эффективно отделимых моделей данных, Изв. вузов. Матем. (6), 15–26 (2024). DOI: https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-6-15-26N.Kh. Kasymov, Logical specifications of effectively separable data models, Russ. Math. 68 (6), 11–20 (2024). DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X24700397

The authors declare that there are no conflicts of interest present.