matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2025.1.4-11matatecs-67Research ArticleСТАТЬИКвадратичный закон взаимности по Золотареву и его обобщениеThe Quadratic Reciprocity Law by Zolotarev and its generalizationsАбызовА. Н.AbyzovA. N.

Адель Наилевич Абызов

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

Adel Nailevich Abyzov

18 Kremlyovskaya str., Kazan 420008

Adel.Abyzov@kpfu.ruКазанский (Приволжский) федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation20250205202531Специальный выпуск трудов конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения»411Copyright © Абызов А.Н., 20252025Абызов А.Н.Abyzov A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/67

В работе Дьюка и Хопкинса (2005), следуя подходу Е.И. Золотарева, получен аналог квадратичного закона взаимности для групп с использованием символа Кронекера. В нашей заметке предложено короткое доказательство этого утверждения с использованием символа Якоби. Работа в основном носит методический характер. В связи с этим в ней также приведено доказательство результата установленного в работе Фробениуса (1914), связанного с комбинаторной интерпретацией символа Якоби.

In the paper of Duke and Hopkins (2005), following the approach of E.I. Zolotarev, an analogue of the quadratic reciprocity law for groups was obtained using the Kronecker symbol. We present a short proof of this statement using the Jacobi symbol. The work is mainly of a methodological nature. In this regard, we also provide a proof of the result established in the paper by Frobenius (1914), related to the combinatorial interpretation of the Jacobi symbol.

символ Якобиквадратичный закон взаимностихарактерыконечные поляJacobi symbolquadratic reciprocity lawcharactersfinite fieldsReferencesW. Duke, K. Hopkins, Quadratic reciprocity in a finite group, Amer. Math. Monthly 112 (3), 251–256 (2005). DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.2005.11920190W. Duke, K. Hopkins, Quadratic reciprocity in a finite group, Amer. Math. Monthly 112 (3), 251–256 (2005). DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.2005.11920190G. Frobenius, ¨Uber das quadratische Reciprocit¨atsgesetz, in: Sitzungsberichte der K¨oniglich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 335–349 (1914).G. Frobenius, ¨Uber das quadratische Reciprocit¨atsgesetz, in: Sitzungsberichte der K¨oniglich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 335–349 (1914).M. Lerch, Sur un th´eor`eme arithm´etique de Zolotarev, Bulletin int. de l’Ac. Prague 3, 34–37 (1896).M. Lerch, Sur un th´eor`eme arithm´etique de Zolotarev, Bulletin int. de l’Ac. Prague 3, 34–37 (1896).G. Zolotareff, Nouvelle d´emonstration de la loi de r´eciprocit´e de Legendre, Nouv. Ann. Math. (2e s´erie) 11, 354–362 (1872).G. Zolotareff, Nouvelle d´emonstration de la loi de r´eciprocit´e de Legendre, Nouv. Ann. Math. (2e s´erie) 11, 354–362 (1872).G. Rousseau, On the Jacobi symbol, J. Number Theory 48 (1), 109–111 (1994). DOI: https://doi.org/10.1006/jnth.1994.1057G. Rousseau, On the Jacobi symbol, J. Number Theory 48 (1), 109–111 (1994). DOI: https://doi.org/10.1006/jnth.1994.1057Е.А. Горин, Перестановки и квадратичный закон взаимности по Золотареву– Фробениусу–Руссо, Чебышевский сб. 14 (4), 80–94 (2013). URL: https://www.mathnet.ru/rus/cheb305E.A. Gorin, Permutations and reciprocity law by Zolotarev–Frobenius–Russo, Chebyshevskii sb. 14 (4), 80–94 (2013) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/cheb305A. Brunyate, P.L. Clark, Extending the Zolotarev–Frobenius approach to quadratic reciprocity, The Ramanujan J. 37 (1), 25–50 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s11139-014-9635-yA. Brunyate, P.L. Clark, Extending the Zolotarev–Frobenius approach to quadratic reciprocity, The Ramanujan J. 37 (1), 25–50 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s11139-014-9635-y

The authors declare that there are no conflicts of interest present.