matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2025.1.64-77matatecs-71Research ArticleСТАТЬИКлассы Леви квазимногообразий 2-нильпотентных группLevi classes of quasivarieties of 2-nilpotent groupsШаховаС. А.ShakhovaS. A.

Светлана Александровна Шахова

пр. Ленина, д. 61, г. Барнаул, 656049

Svetlana Aleksandrovna Shakhova

61 Lenina av., Barnaul 656049

ssa@math.asu.ruАлтайский государственный университетРоссияAltai State UniversityRussian Federation20250205202531Специальный выпуск трудов конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения»6477Copyright © Шахова С.А., 20252025Шахова С.А.Shakhova S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/71

Классом Леви L(M), порожденным классом групп M, называется класс всех групп, в которых нормальное замыкание каждой циклической подгруппы принадлежит M. Пусть p – простое число, p ̸= 2, s – натуральное число, s ≥ 2, и s > 2 при p = 3; Hps – свободная ранга 2 группа в многообразии нильпотентных ступени ≤ 2 групп экспоненты ps с коммутантом экспоненты p; Z – бесконечная циклическая группа; q{Hps , Z} – квазимногообразие, порожденное множеством групп {Hps , Z}. В работе найден базис квазитождеств класса Леви L(q{Hps , Z}) и установлено, что существует континуальное множество квазимногообразий K таких, что L(K) = L(q{Hps , Z}).

The Levi class L(M) generated by the class of groups M is the class of all groups in which the normal closure of each cyclic subgroup belongs to M.

Let p be a prime number, p ̸= 2, s be a natural number, s ≥ 2, and s > 2 for p = 3; Hps be a free group of rank 2 in the variety of nilpotent groups of class ≤ 2 of exponent ps with commutator subgroup of exponent p; Z is an infinite cyclic group; q{Hps , Z} is a quasivariety generated by the set of groups {Hps , Z}. We find a basis of quasi-identities of the Levi class L(q{Hps , Z}) and establish that there exists a continuous set of quasivarieties K such that L(K) = L(q{Hps , Z}).

квазимногообразиекласс Левинильпотентная группаquasivarietyLevi classnilpotent groupReferencesF.W. Levi, Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic conditions, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 6, 87–97 (1942).F.W. Levi, Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic conditions, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 6, 87–97 (1942).L.C. Kappe, On Levi-formations, Arch. Math. 23, 561–572 (1972). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01304934L.C. Kappe, On Levi-formations, Arch. Math. 23, 561–572 (1972). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01304934L.C. Kappe, R.F. Morse, Groups with 3-abelian normal closures, Arch. Math. 51 (2), 104– 110 (1988). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01206466L.C. Kappe, R.F. Morse, Groups with 3-abelian normal closures, Arch. Math. 51 (2), 104– 110 (1988). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01206466А.И. Будкин, Квазимногообразия Леви, Сиб. матем. журн. 40 (2), 266–270 (1999). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj148A.I. Budkin, Levi quasivarieties, Siberian Math. J. 40 (2), 225–228 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/s11202-999-0003-xА.И. Будкин, О классах Леви, порожденных нильпотентными группами, Алгебра и логика 39 (6), 635–647 (2000). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al245A.I. Budkin, Levi classes generated by nilpotent groups, Algebra Logic 39 (1), 363–369 (1999). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1010224301576А.И. Будкин, Л.В. Таранина, О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами, Сиб. матем. журн. 41 (2), 270–277 (2000). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj1524A.I. Budkin, L. V. Taranina, On Levi quasivarieties generated by nilpotent groups, Siberian Math. J. 41 (2), 218–223 (2000). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02674590R.F. Morse, Levi-properties generated by varieties, In: The mathematical legacy of Wilhelm Magnus: groups, geometry and special functions, Contemp. Math. 169, 467–474 (1994). DOI: http://dx.doi.org/10.1090/conm/169/01675R.F. Morse, Levi-properties generated by varieties, In: The mathematical legacy of Wilhelm Magnus: groups, geometry and special functions, Contemp. Math. 169, 467–474 (1994). DOI: http://dx.doi.org/10.1090/conm/169/01675А.И. Будкин, В.А. Горбунов, К теории квазимногообразий алгебраических систем, Алгебра и логика 14 (2), 123–142 (1975). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al1462A.I. Budkin, V.A. Gorbunov, On the theory of quasivarieties of algebraic systems, Algebra i Logika 14 (2), 123–142 (1975) [in Russian].В.В. Лодейщикова, О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами, Изв. АлтГУ (1), 26–29 (2009).V.V. Lodeyshchikova, On Levi quasivarieties generated by nilpotent groups, Izv. AltGU (1), 26–29 (2009).В.В. Лодейщикова, О классах Леви, порожденных нильпотентными группами, Сиб. матем. журн. 51 (6), 1359–1366 (2010). URL: https://www.mathnet.ru/rus/smj2166V.V. Lodeyshchikova, The Levi classes generated by nilpotent groups, Siberian Math. J. 51 (6), 1075–1080 (2010). DOI: https://doi.org/10.1007/s11202-010-0105-5В.В. Лодейщикова, О квазимногообразиях Леви экспоненты ps, Алгебра и логика 50 (1), 26–41 (2011). URL: https://www.mathnet.ru/rus/al473V.V. Lodeyshchikova, Levi quasivarieties of exponent ps, Algebra Logic 50 (1), 17–28 (2011). DOI: https://doi.org/10.1007/s10469-011-9121-1С.А. Шахова, Об аксиоматическом ранге классов Леви, Алгебра и логика 57 (5), 587– 600 (2018). DOI: https://doi.org/10.33048/alglog.2018.57.506S.A. Shakhova, The axiomatic rank of Levi classes, Algebra Logic 57 (5), 381–391 (2018). DOI: https://doi.org/10.1007/s10469-018-9510-9S.А. Shakhova, The axiomatic rank of the Levi class generated by the almost Abelian quasivariety of nilpotent groups, Lobachevskii J. Math. 41 (9), 1680–1683 (2020). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220090243S.А. Shakhova, The axiomatic rank of the Levi class generated by the almost Abelian quasivariety of nilpotent groups, Lobachevskii J. Math. 41 (9), 1680–1683 (2020). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220090243С.А. Шахова, Классы Леви квазимногообразий групп с коммутантом экспоненты p, Алгебра и логика 60 (5), 510–524 (2021). DOI: https://doi.org/10.33048/alglog.2021.60.504S.A. Shakhova, Levi classes of quasivarieties of groups with commutator subgroup of order p, Algebra Logic 60 (5), 336–347 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s10469-021-09659-3В.В. Лодейщикова, С.А. Шахова, Классы Леви квазимногообразий нильпотентных групп экспоненты ps, Алгебра и логика 61 (1), 77–92 (2022). DOI: https://doi.org/10.33048/alglog.2022.61.104V.V. Lodeyshchikova, S.A. Shakhova, Levi classes of quasivarieties of nilpotent groups of exponent ps, Algebra Logic 61 (1), 54–66 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s10469-022-09674-yМ.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков, Основы теории групп, Наука, М., 1977.M. I. Kargapolov, Ju.I. Merzljakov, Fundamentals of the theory of groups, Graduate Texts in Mathematics 62, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1979.А.И. Мальцев, Алгебраические системы, Наука, М., 1970.A.I. Mal’cev, Algebraic Systems, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1973. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-65374-2А.И. Будкин, Квазимногообразия групп, Изд-во Алт. гос. ун-та, Барнаул, 2002.A.I. Budkin, Quasivarieties of groups, Izd-vо Altai State Univ., Barnaul, 2002 [in Russian].В.А. Горбунов, Алгебраическая теория квазимногообразий, Науч. книга, Новосибирск, 1999.V.A. Gorbunov, Algebraic theory of quasivarieties, Springer New York, New York, 1998.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.