matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2025.3.10-19matatecs-84Research ArticleСТАТЬИМ.В. Долов и шестнадцатая проблема ГильбертаM.V. Dolov and the sixteenth Hilbert problemМорозовА. Д.MorozovA. D.

Альберт Дмитриевич Морозовпр-т Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603022

Albert Dmitrievich Morozov23 Gagarin ave., Nizhny Novgorod 603022

morozov@mm.unn.ruМорозовК. Е.MorozovK. E.

Кирилл Евгеньевич Морозовпр-т Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603022

Kirill Evgenevich Morozov23 Gagarin ave., Nizhny Novgorod 603022

kirill.morozov@itmm.unn.ruНижегородский государственный университет им. Н.И. ЛобачевскогоРоссияLobachevsky State University of Nizhny NovgorodRussian Federation202529102025331019Copyright © Морозов А.Д., Морозов К.Е., 20252025Морозов А.Д., Морозов К.Е.Morozov A.D., Morozov K.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/84

5 ноября 2024 года исполнилось 90 лет со дня рождения выдающегося ученого и замечательного человека Михаила Васильевича Долова. Это краткое сообщение посвящено данному событию и содержит обзор некоторых результатов М.В. Долова и других сотрудников Нижегородского государственного университета по второй части шестнадцатой проблемы Гильберта.

The 5th of November 2024 marked the 90th anniversary of the birth of an outstanding scientist and a remarkable person Mikhail Vasilievich Dolov. This short essay is dedicated to this event and contains an overview of some results of M.V. Dolov and other researchers at Nizhny Novgorod State University on the second part of the sixteenth Hilbert problem. 

Доловшестнадцатая проблемаГильбертпредельные циклыполиномиальные векторные поляDolovthe sixteenth problemHilbertlimit cyclespolynomial vector fieldsРабота поддержана Минобрнауки РФ, соглашение FSWR-2020-0036The work is supported by Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, agreement FSWR-2020-0036ReferencesГ.М. Полотовский, В.В. Морозов, Д.А. Гудков и первая часть 16-й проблемы Гильберта, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 154 (2), 31–43 (2012). URL: https://www.mathnet.ru/rus/uzku1116G.M. Polotovsky, V.V. Morozov, D.A. Gudkov and the first part of the 16th Hilbert problem, Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki 154 (2), 31–43 (2012) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/uzku1116H. Dulac, Sur les cycles limits, Bull. Soc. Math. France 51, 45–188 (1923) [in French]. DOI: https://doi.org/10.24033/bsmf.1031H. Dulac, Sur les cycles limits, Bull. Soc. Math. France 51, 45–188 (1923) [in French]. DOI: https://doi.org/10.24033/bsmf.1031Ю.С. Ильяшенко, Мемуар Дюлака “О предельных циклах” и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений, УМН 40 (6), 41–78 (1985). URL: https://www.mathnet.ru/rus/rm2786Yu.S. Ilyashenko, Dulac’s memoir “On limit cycles” and related problems of the local theory of differential equations, Russian Math. Surveys 40 (6), 1–49 (1985). DOI: https://doi.org/10.1070/RM1985v040n06ABEH003701Ю.С. Ильяшенко, Теоремы конечности для предельных циклов, УМН 45 (2), 143–200 (1990). URL: https://www.mathnet.ru/rus/rm4718Yu.S. Ilyashenko, Finiteness theorems for limit cycles, Russian Math. Surveys 45 (2), 129–203 (1990). DOI: https://doi.org/10.1070/RM1990v045n02ABEH002335J. Ecalle, ´ Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992 [in French].J. Ecalle, ´ Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992 [in French].Н.Н. Баутин, Оценка числа алгебраических предельных циклов системы x˙ = P(x, y), y˙ = Q(x, y) с алгебраическими правыми частями, Дифференц. уравнения 16 (2), 362 (1980). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de3931N.N. Bautin, Estimation of the number of algebraic limit cycles of the system x˙ = P(x, y), y˙ = Q(x, y) with algebraic right-hand sides, Differ. Uravn. 16 (2), 362 (1980) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de3931Н.Ф. Отроков, О числе предельных циклов в окрестности фокуса, ДАН СССР 43 (4), 102–105 (1944).N.F. Otrokov, On the number of limit circles in the neighborhood of a focus, Dokl. Akad. Nauk USSR 43 (4), 102–105 (1944) [in Russian].Н.Ф. Отроков, О числе предельных циклов дифференциального уравнения в окрестности особой точки, Матем. сб. 76 (1), 127–144 (1954). URL: https://www.mathnet.ru/sm5240N.F. Otrokov, On the number of limit cycles of a differential equation in the neighborhood of a singular point, Sb. Math. 76 (1), 127–144 (1954) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/sm5240М.В. Долов, Проблема конечности числа предельных циклов полиномиального векторного поля на плоскости и работы H.Ф. Отрокова, Вестник ННГУ, сер. Матем. (1), 146–154 (2003). URL: http://www.vestnik.unn.ru/ru/nomera?anum=1416M.V. Dolov, On the problem of the finiteness of limit cycles of polynomial vector field and N.F. Otrokov works, Vestnik NNGU, ser. Math. (1), 146–154 (2003) [in Russian]. URL: http://www.vestnik.unn.ru/ru/nomera?anum=1416М.В. Долов, Некоторые методы исследования предельных циклов, дисс. ... канд. физ.-матем. наук, Горький, 1967.M.V. Dolov, On some methods of limit cycles research, diss. ... cand. phys.-math, Gorkii, 1967.М.В. Долов, Канонические интегралы и предельные циклы, дисс. ... д-ра физ.-матем. наук, Горький, 1983.M.V. Dolov, On canonical integrals and limit circles, diss. ... dr. phys.-math, Gorkii, 1983.М.В. Долов, Предельные циклы и алгебраические интегралы в случае центра, Дифференц. уравнения 11 (11), 1935–1941 (1975). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de2593M.V. Dolov, Limit cycles and algebraic integrals in the case of a center, Differ. Uravn. 11 (11), 1935–1941 (1975) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de2593М.В. Долов, Канонический интеграл в окрестности фокуса, Дифференц. уравнения 12 (11), 1946–1953 (1976). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de2905M.V. Dolov, The canonical integral in the neighborhood of a focus, Differ. Uravn. 12 (11), 1946–1953 (1976) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de2905М.В. Долов, Предельные циклы и интегралы Дарбу в случае узла, Дифференц. уравнения 13 (3), 406–415 (1977). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de3009M.V. Dolov, Limit cycles and Darboux integrals in the case of a node, Differ. Uravn. 13 (3), 406–415 (1977) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de3009М.В. Долов, Интегралы Дарбу в случае фокуса, Дифференц. уравнения 14 (7), 1173–1178 (1978). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de3431M.V. Dolov, Darboux integrals in the case of a focus, Differ. Uravn. 14 (7), 1173–1178 (1978). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de3431М.В. Долов, В.В. Косарев, Интегралы Дарбу и аналитическая структура решений дифференциальных уравнений, Дифференц. уравнения 19 (4), 697–700 (1983). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de4830M.V. Dolov, V.V. Kosarev, Darboux integrals and the analytic structure of solutions of differential equations, Differ. Uravn. 19 (4), 697–700 (1983). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de4830М.В. Долов, Интегрирующий множитель в окрестности узла, Дифференц. уравнения 33 (2), 158–160 (1997). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de9187M.V. Dolov, An integrating factor in a neighborhood of a node, Differential Equations 33 (2), 158–160 (1997).М.В. Долов, С.А. Чистякова, Алгебраические дифференциальные уравнения с интегрирующим множителем типа Дарбу, Дифференц. уравнения 33 (5), 618–622 (1997). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de9260M.V. Dolov, S.A. Chistyakova, Algebraic differential equations with an integrating factor of Darboux type, Differential Equations 33 (5), 621–625 (1997).Т.А. Дружкова, Об одном дифференциальном уравнении с алгебраическими интегралами, Дифференц. уравнения 11 (2), 262–267 (1975). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de2383T.A. Druzhkova, A certain differential equation with algebraic integrals, Differ. Uravn. 11 (2), 262–267 (1975) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de2383М.В. Долов, Об алгебраических предельных циклах полиномиальных векторных полей на плоскости, Дифференц. уравнения 37 (9), 1155–1160 (2001). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de10442M.V. Dolov, Algebraical limit cycles of polynomial vector fields on the plane, Differential Equations 37 (9), 1211–1216 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1012582809822М.В. Долов, Теорема Баутина о числе алгебраических предельных циклов полиномиальных векторных полей, Вестник ННГУ (4), 259–262 (2014). URL: http://www.vestnik.unn.ru/ru/nomera?anum=8807M.V. Dolov, Bautin’s theorem on a number of algebraical limit cycles of polynomial vector fields, Vestnik NNGU (4), 259–262 (2014) [in Russian]. URL: http://www.vestnik.unn.ru/ru/nomera?anum=8807М.В. Долов, О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей, Дифференц. уравнения 40 (6), 838–839 (2004). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de11093M.V. Dolov, On the number of algebraic invariant curves of polynomial vector fields, Differential Equations 40 (6), 896–897 (2004). DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000046867.17535.71М.В. Долов, О предельных циклах в случае центра, Дифференц. уравнения 8 (9), 1691–1692 (1972). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de1673M.V. Dolov, Limit cycles in the case of the center, Differ. Uravn. 8 (9), 1691–1692 (1972) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de1673Е.В. Круглов, Алгебраические дифференциальные уравнения с заданными интегралами. Обзор результатов, полученных М.В. Доловым, Матем. в высшем обр. 22, 91–106 (2024). URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=80428850E.V. Kruglov, Algebraic differential equations with given integrals. Review of the results obtained by M.V. Dolov, Matem. v vysh. obr. 22, 91–106 (2024) [in Russian]. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=80428850А.Н. Варченко, Оценка числа нулей Абелева интеграла, зависящего от параметра, и предельные циклы, Функц. анализ и его прил. 18 (2), 14–25 (1984). URL: https://www.mathnet.ru/rus/faa1444A.N. Varchenko, Estimate of the number of zeros of an abelian integral depending on a parameter and limit cycles, Funct. Anal. Appl. 18(2), 98–108 (1984). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01077820А.Д. Морозов, Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах, Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2005.A.D. Morozov, Quasi-conservative systems. Cycles, resonances and chaos, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1998. DOI: https://doi.org/10.1142/3238А.Д. Морозов, Е.Л. Федоров, К исследованию уравнений с одной степенью свободы, близких к нелинейным интегрируемым, Дифференц. уравнения 19 (9), 1511–1516 (1983). URL: https://www.mathnet.ru/rus/de4943A.D. Morozov, E.L. Fedorov, On the investigation of equations with one degree of freedom, close to nonlinear integrable ones, Differ. Uravn. 19 (9), 1511–1516 (1983) [in Russian]. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de4943Г.С. Петров, Чебышевское свойство эллиптических интегралов, Функц. анализ и его прил. 22 (1), 83–84 (1988). URL: https://www.mathnet.ru/rus/faa1097G.S. Petrov, The Chebyshev property of elliptic integrals, Funct. Anal. Appl. 22 (1), 72–73 (1988). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01077734

The authors declare that there are no conflicts of interest present.