matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2025.3.58-86matatecs-87Research ArticleСТАТЬИОб асимптотическом поведении траекторий косых произведений с замкнутым множеством периодических точекOn the asymptotic behavior of the trajectories of skew products with a closed set of periodic pointsЕфремоваЛ. С.EfremovaL. S.

Людмила Сергеевна Ефремовапр-т Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603022Институтский переулок, д. 9, г. Долгопрудный; Московская область, 141701

Lyudmila Sergeevna Efremova23 Gagarin ave., Nizhny Novgorod 603022; 9 Institutskii alley, Dolgoprudny, Moscow Region, 141701

ludmila.efremova@itmm.unn.ruШалагинМ. А.ShalaginM. V.

Шалагин Матвей Андреевичпр-т Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603022

Matvey Andreevich Shalagin

23 Gagarin ave., Nizhny Novgorod 603022

shalaginmatvey@gmail.comНижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского; Московский физико-технический институт (университет)РоссияLobachevskii Nizgny Novgorod State University; Moscow Institute of Physics and TechnologyRussian FederationНижегородский государственный университет им. Н.И. ЛобачевскогоРоссияLobachevskii Nizgny Novgorod State UniversityRussian Federation202529102025335886Copyright © Ефремова Л.С., Шалагин М.А., 20252025Ефремова Л.С., Шалагин М.А.Efremova L.S., Shalagin M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/87

Статья продолжает исследования асимптотического поведения траекторий наиболее простых косых произведений на многомерных клетках, проводимые авторами. Здесь дано описание структуры неблуждающего множества непрерывных косых произведений, имеющих замкнутое множество периодических точек и таких, что множество (наименьших) периодов периодических точек, не ограничено. Построен пример дифференцируемого косого произведения с замкнутым множеством периодических точек, заданного на n-мерной клетке (n ≥ 3) и имеющего одномерное ω-предельное множество. 

The article continues the research of the asymptotic behavior of the trajectories of the most simple skew products on multidimensional cells conducted by the authors. Here we describe the structure of nonwandering set of continuous skew products having a closed set of periodic points and such that the set of (least) periods of periodic points is unbounded. An example of a differentiable skew product with a closed set of periodic points is constructed, defined on an n-dimensional cell (n ≥ 3) and having a one-dimensional ω-limit set. Keywords: skew product, nonwandering set, Ω-blow up, ω-limit set

косое произведениенеблуждающее множествоΩ-взрывω-предельное множествоskew productnonwandering setΩ-blow upω-limit setРабота поддержана грантом Российского научного фонда (проект № 24-21-00242).The work is supported by the Russian Science Foundation (grant no. 24-21-00242)ReferencesЛ.С. Ефремова, О неблуждающем множестве и центре треугольных отображений с замкнутым множеством периодических точек в базе, в сб.: Динамические системы и нелинейные явления, Ин-т математики АН УССР, Киев, 15–25 (1990).L.S. Efremova, On the nonwandering set and the center of triangular mappings with a closed set of periodic points in the base, in: Dynamical systems and nonlinear phenomena, Akad. Nauk Ukrain. SSR, Inst. Mat., Kiev, 15–25 (1990) [in Russian].F. Balibrea, J.L. Guirao, J.I. Casado, A triangular map on I 2 , whose ω-limit sets are all compact interval of {0} × I, Discrete Contin. Dyn. Syst. 8 (4), 983–994 (2002). DOI: https://doi.org/10.3934/dcds.2002.8.983F. Balibrea, J.L. Guirao, J.I. Casado, A triangular map on I 2 , whose ω-limit sets are all compact interval of {0} × I, Discrete Contin. Dyn. Syst. 8 (4), 983–994 (2002). DOI: https://doi.org/10.3934/dcds.2002.8.983J. Kupka, The triangular maps with closed sets of periodic points, J. Math. Anal. Appl. 319 (1), 302–314 (2006). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.06.028J. Kupka, The triangular maps with closed sets of periodic points, J. Math. Anal. Appl. 319 (1), 302–314 (2006). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.06.028Л.С. Ефремова, Дифференциальные свойства и притягивающие множества простейших косых произведений отображений интервала, Матем. сб. 201 (6), 93–130 (2010). DOI: https://doi.org/10.4213/sm7551L.S. Efremova, Differential properties and attracting sets of a simplest skew product of interval maps, Sb. Math. 201 (6), 873–907 (2010). DOI: https://doi.org/10.1070/SM2010v201n06ABEH004095Л.С. Ефремова, О C 0 - Ω-взрывах в C 1 -гладких косых произведениях отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек, Вестн. Нижегородского гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского (3), 130–136 (2012).L.S. Efremova, On C 0 - Ω-blow-ups in C 1 -smooth skew products of interval mappings with a closed set of periodic points, Vestnik of Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod (3), 130–136, (2012) [in Russian].L.S. Efremova, Remarks on the nonwandering set of skew products with a closed set of periodic points of the quotient map, in: Nonlinear maps and their applications. Springer Proc. Math. Statist. 57, Springer, New York, 39–58 (2014). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-9161-3_6L.S. Efremova, Remarks on the nonwandering set of skew products with a closed set of periodic points of the quotient map, in: Nonlinear maps and their applications. Springer Proc. Math. Statist. 57, Springer, New York, 39–58 (2014). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-9161-3_6Л.С. Ефремова, Динамика косых произведений отображений интервала, УМН 72 (1), 107–192 (2017). DOI: https://doi.org/10.4213/rm9745L.S. Efremova, Dynamics of skew products of interval maps, Russian Math. Surveys 72 (1), 101–178 (2017). DOI: https://doi.org/10.1070/RM9745L.S. Efremova, Simplest skew products on n-dimensional (n ≥ 2) cells, cylinders and tori, Lobachevskii J. Math. 43 (7), 1598–1618 (2022). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080222100080L.S. Efremova, Simplest skew products on n-dimensional (n ≥ 2) cells, cylinders and tori, Lobachevskii J. Math. 43 (7), 1598–1618 (2022). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080222100080Л.С. Ефремова, М.А.Шалагин, О предельных множествах простейших косых произведений на многомерных клетках, Известия вузов. ПНД 32 (6), 796–815 (2024). DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-003134L.S. Efremova, M.A. Shalagin, On limit sets of simplest skew products defined on multidimensional cells, Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 32 (6), 796–815 (2024) [in Russian]. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-003134L.S. Efremova, D.A. Novozhilov, Chain-recurrent C 0 - Ω-blowup in C 1 -smooth simplest skew products on multidimensional cells, Regul. Chaotic Dyn. 30 (1), 120–140 (2025). DOI: https://doi.org/10.1134/S156035472501006XL.S. Efremova, D.A. Novozhilov, Chain-recurrent C 0 - Ω-blowup in C 1 -smooth simplest skew products on multidimensional cells, Regul. Chaotic Dyn. 30 (1), 120–140 (2025). DOI: https://doi.org/10.1134/S156035472501006XЗ. Нитецки, Введение в дифференциальную динамику, Мир, М. 1975.Z. Nitecki, Differentiable dynamics. An introduction to the orbit structure of diffeomorphisms, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, 1971.А.Н.Шарковский, Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя, Укр. матем. журн. 16 (1), 61–71 (1964).A. N. Sharkovsky, Coexistence of cycles of a continuous map of the line into itself, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 5 (5), 1263–1273 (1995). DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127495000934А.Н.Шарковский, О циклах и структуре непрерывного отображения, Укр. матем. журн. 17 (3), 104–111 (1965).A.N. Sharkovsky, On cycles and structure of a continuous map, Ukr. Mat. Zh. 17 (3), 104–111 (1965) [in Russian].P.E. Kloeden, On Sharkovsky’s cycle coexistence ordering, Bull. Austral. Math. Soc. 20 (2), 171–177 (1979). DOI: https://doi.org/10.1017/S0004972700010819P.E. Kloeden, On Sharkovsky’s cycle coexistence ordering, Bull. Austral. Math. Soc. 20 (2), 171–177 (1979). DOI: https://doi.org/10.1017/S0004972700010819Л.С. Ефремова, О понятии Ω-функции косого произведения отображений интервала, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 67, 129–160 (1999). URL: https://www.mathnet.ru/rus/into81L.S. Efremova, On the xoncept of the Ω-function for the skew product of interval mappings, J. Math. Sci. 105 (1), 1779–1798 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1011311512743L.S. Efremova, C 1 -smooth Ω-stable skew products and completely geometrically integrable self-maps of 3D-tori, I: Ω-stability, Regul. Chaotic Dyn. 29 (3), 491–514 (2024). DOI: https://doi.org/10.1134/762S1560354724520010L.S. Efremova, C 1 -smooth Ω-stable skew products and completely geometrically integrable self-maps of 3D-tori, I: Ω-stability, Regul. Chaotic Dyn. 29 (3), 491–514 (2024). DOI: https://doi.org/10.1134/762S1560354724520010L.S. Efremova, Skew products and geometrically integrable maps: results, problems and prospects, in: S. Elaydi et al. (eds.) New developments in discrete dynamical systems, difference equations, and applications, Springer Proc. Math. Stat. 485, 119–145 (2025). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-82003-8_7L.S. Efremova, Skew products and geometrically integrable maps: results, problems and prospects, in: S. Elaydi et al. (eds.) New developments in discrete dynamical systems, difference equations, and applications, Springer Proc. Math. Stat. 485, 119–145 (2025). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-82003-8_7К. Куратовский, Топология, Т. 1, Мир, М., 1966.K. Kuratowski, Topology. Vol. 1, Academic Press, New York-London, 1966. DOI: https://doi.org/10.1016/C2013-0-11022-7О.М. Шарковський, Неблукаючi точки та центр неперервного вiдображення прямоi в себе, Допов. АН УРСР 7, 865–868 (1964).O.M. Sharkovskii, Non-wandering points and the center of a continuous mapping of the line into itself, Dopov. Acad. Nauk Ukr. RSR, 865–868 (1964) [in Ukrainian].L.S. Block, W.A. Coppel, Dynamics in one dimension, Lecture Notes in Math. 1513, Springer-Verlag, Berlin, 1992. DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0084762L.S. Block, W.A. Coppel, Dynamics in one dimension, Lecture Notes in Math. 1513, Springer-Verlag, Berlin, 1992. DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0084762Z. Nitecky, Maps of the interval with closed periodic set, Proc. Amer. Math. Soc. 85 (3), 451–456 (1982). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1982-0656122-2Z. Nitecky, Maps of the interval with closed periodic set, Proc. Amer. Math. Soc. 85 (3), 451–456 (1982). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1982-0656122-2А.Н.Шарковский, В.А. Добрынский, Неблуждающие точки динамических систем, в сб.: Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений, Наукова думка, Киев, 165-174 (1973)A.N. Sharkovsky, V.A. Dobrynsky, Nonwandering points of dynamical systems, in: Dynamical systems and problems of the stability of solutions of differrential equations, Naukova Dumka, Kiev, 165–174 (1973) [in Russian].И.У. Бронштейн, Неавтономные динамические системы, Штиинца, Кишинев, 1984.I.U. Bronshtein, Non-autonomous dynamical systems, Shtiintsa, Kishinev, 1984 [in Russian].В.А. Зорич, Математический анализ, Т. 1. Наука, M., 1981.V A. Zorich, Mathematical Analysis, Vol. I. Springer-Verlag, Berlin, 2015. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-48792-1

The authors declare that there are no conflicts of interest present.