matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2025.3.87-109matatecs-88Research ArticleСТАТЬИКлассификация меняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов двумерного тораClassification of orientation reversing periodic homeomorphisms of a two dimensional torusМартыновТ. Д.MartynovT. D.

Тимур Денисович Мартыновул. Большая Печерская, д. 25/12, г. Нижний Новгород, 603155

Timur Denisovich Martynov25/12 Bolshaya Pecherskaya str., Nizhny Novgorod, 603155

mar.tim.denn@gmail.comПочинкаО. В.PochinkaO. V.

Ольга Витальевна Починкаул. Большая Печерская, д. 25/12, г. Нижний Новгород, 603155

Olga Vitalyevna Pochinka

25/12 Bolshaya Pecherskaya str., Nizhny Novgorod, 603155

olga-pochinka@yandex.ruЧилинаЕ. Е.ChilinaE. E.

Екатерина Евгеньевна Чилинаул. Большая Печерская, д. 25/12, г. Нижний Новгород, 603155

Ekaterina Evgenevna Chilina

25/12 Bolshaya Pecherskaya str., Nizhny Novgorod, 603155

k.chilina@yandex.ruНациональный исследовательский университет «Высшая школа экономики»РоссияHSE UniversityRussian Federation2025291020253387109Copyright © Мартынов Т.Д., Починка О.В., Чилина Е.Е., 20252025Мартынов Т.Д., Починка О.В., Чилина Е.Е.Martynov T.D., Pochinka O.V., Chilina E.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/88

Согласно Я. Нильсену и Х. Хангу, каждый класс топологической сопряженности периодических гомеоморфизмов ориентируемых компактных поверхностей полностью описывается конечным набором данных, называемых характеристикой. Для двумерной сферы исчерпывающие классификационные результаты с построением линейных представителей в каждом классе сопряженности получены Б. Керекьярто. Для двумерного тора подобные результаты получены при участии авторов настоящей статьи. В данной работе найдены все характеристики меняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов двумерного тора. Для каждой из них построен гомеоморфизм, представляющий класс топологической сопряженности. Классификация периодических гомеоморфизмов, кроме самостоятельного интереса, играет ключевую роль в решении проблемы Палиса–Пью о построении устойчивых дуг в пространстве дискретных динамических систем, входящей в список 50 важнейших проблем динамических систем. Для всех классов градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей, где эта проблема решена, использовалась именно идея тесной связи таких систем с периодическими преобразованиями. Таким образом, полученный результат позволит расширить класс систем, для которых проблема Палиса–Пью решена. 

According to J. Nielsen and H. Hang, each class of topological conjugacy of periodic homeomorphisms of orientable compact surfaces is completely described by a finite set of data called the characteristic. For a two-dimensional sphere, exhaustive classification results with the construction of linear representatives in each conjugacy class were obtained by B. Kerekyarto. For a two-dimensional torus, similar results were obtained with the participation of the authors of this article. Here we find all the characteristics of orientation-changing periodic homeomorphisms of a two-dimensional torus. A homeomorphism representing a class of topological conjugacy is constructed for each of them. The classification of periodic homeomorphisms, in addition to being of independent interest, plays a key role in solving the Palis–Pugh problem of constructing stable arcs in the space of discrete dynamical systems, which is included in the list of 50 most important problems of dynamical systems. For all classes of gradient-like diffeomorphisms of surfaces where this problem is solved, the idea of a close connection of such systems with periodic transformations was used. Thus, the obtained result will make it possible to expand the class of systems for which the Palis problem has been solved. 

периодические гомеоморфизмыдвумерный тортопологическая классификацияperiodic homeomorphismstwo-dimensional torustopological classificationИсследование осуществлено в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭThis work is an output of a research project implemented as part of the Basic Research Program at the National Research University Higher School of Economics (HSE University).ReferencesJ. Nielsen, Untersuchungen zur topologie der geschlossenen zweiseitigen Fl¨achen, Acta Math. 50 (1), 189–358 (1927) [In German]. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02421324J. Nielsen, Untersuchungen zur topologie der geschlossenen zweiseitigen Fl¨achen, Acta Math. 50 (1), 189–358 (1927) [In German]. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02421324О.В. Починка, С.Х. Капкаева, В.З. Гринес, Трехцветный граф как полный топологический инвариант для градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей, Матем. сб. 205 (10), 19–46 (2014). DOI: https://doi.org/10.4213/sm8328V.Z. Grines, S.Kh. Kapkaeva, O.V. Pochinka, A three-colour graph as a complete topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of surfaces, Sb. Math. 205 (10), 1387–1412 (2014). DOI: https://doi.org/10.1070/SM2014v205n10ABEH004423J. Palis, C. Pugh, Fifty problems in dynamical systems, в сб.: Lecture Notes in Math. 468 Springer, Berlin-New York, 345–353 (1975). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0082633J. Palis, C. Pugh, Fifty problems in dynamical systems, in: Lecture Notes in Math. 468 Springer, Berlin-New York, 345–353 (1975). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0082633E. Nozdrinova, O. Pochinka, Solution of the 33rd Palis–Pugh problem for gradient-like diffeomorphisms of a two-dimensional sphere, Discrete Contin. Dyn. Syst. 41 (3), 1101–1131 (2021). DOI: https://doi.org/10.3934/dcds.2020311E. Nozdrinova, O. Pochinka, Solution of the 33rd Palis–Pugh problem for gradient-like diffeomorphisms of a two-dimensional sphere, Discrete Contin. Dyn. Syst. 41 (3), 1101–1131 (2021). DOI: https://doi.org/10.3934/dcds.2020311A.A. Nozdrinov, E.V. Nozdrinova, O.V. Pochinka, Stable isotopy connectivity of gradient-like diffeomorphisms of 2-torus J. Geom. Phys. 207, art. 105352 (2025). DOI: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2024.105352A.A. Nozdrinov, E.V. Nozdrinova, O.V. Pochinka, Stable isotopy connectivity of gradient-like diffeomorphisms of 2-torus J. Geom. Phys. 207, art. 105352 (2025). DOI: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2024.105352B. von Ker´ekj´art´o, Uber die periodischen Transformationen der Kreisscheibe und der ¨ Kugelfl¨ache, Math. Ann. 80 (1), 36–38 (1919) [in German]. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01463232B. von Ker´ekj´art´o, Uber die periodischen Transformationen der Kreisscheibe und der ¨ Kugelfl¨ache, Math. Ann. 80 (1), 36–38 (1919) [in German]. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01463232L.E.J. Brouwer, Uber die periodischen Transformationen der Kugel ¨ , Math. Ann. 80 (1), 39–41 (1919) [in German]. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01463233L.E.J. Brouwer, Uber die periodischen Transformationen der Kugel ¨ , Math. Ann. 80 (1), 39–41 (1919) [in German]. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01463233J. Nielsen, Die struktur periodischer transformationen von fl¨achen, Math.-fys. Medd. Danske Vid. Selsk. 15 (1), Levin and Munksgaard, 1937.J. Nielsen, Die struktur periodischer transformationen von fl¨achen, Math.-fys. Medd. Danske Vid. Selsk. 15 (1), Levin and Munksgaard, 1937.K. Yokoyama, Classification of periodic maps on compact surfaces: I, Tokyo J. Math. 6 (1), 75–94 (1983). DOI: https://doi.org/10.3836/tjm/1270214327K. Yokoyama, Classification of periodic maps on compact surfaces: I, Tokyo J. Math. 6 (1), 75–94 (1983). DOI: https://doi.org/10.3836/tjm/1270214327K. Yokoyama, Classification of periodic maps on compact surfaces: II, Tokyo J. Math. 7 (1), 249–285 (1984). DOI: https://doi.org/10.3836/tjm/1270153007K. Yokoyama, Classification of periodic maps on compact surfaces: II, Tokyo J. Math. 7 (1), 249–285 (1984). DOI: https://doi.org/10.3836/tjm/1270153007K. Yokoyama, Complete classification of periodic maps on compact surfaces, Tokyo J. Math. 15 (2), 247–279 (1992). DOI: https://doi.org/10.3836/tjm/1270129455K. Yokoyama, Complete classification of periodic maps on compact surfaces, Tokyo J. Math. 15 (2), 247–279 (1992). DOI: https://doi.org/10.3836/tjm/1270129455H. Hang, Homology and orientation reversing periodic maps on surfaces, Topology Appl. 229, 1–19 (2017). DOI: https://doi.org/10.1016/j.topol.2017.06.023H. Hang, Homology and orientation reversing periodic maps on surfaces, Topology Appl. 229, 1–19 (2017). DOI: https://doi.org/10.1016/j.topol.2017.06.023S. Hirose, Presentations of periodic maps on oriented closed surfaces of genera up to 4, Osaka J. Math. 47 (2), 385–421 (2010).S. Hirose, Presentations of periodic maps on oriented closed surfaces of genera up to 4, Osaka J. Math. 47 (2), 385–421 (2010).D.A. Baranov, V.Z. Grines, O.V. Pochinka, E.E. Chilina, On a classification of periodic maps on the 2-torus, Russ. J. Nonlinear Dyn. 19 (1) 91–110 (2023). DOI: https://doi.org/10.20537/nd220702D.A. Baranov, V.Z. Grines, O.V. Pochinka, E.E. Chilina, On a classification of periodic maps on the 2-torus, Russ. J. Nonlinear Dyn. 19 (1) 91–110 (2023). DOI: https://doi.org/10.20537/nd220702Д.А. Баранов, О.В. Починка, Классификация периодических преобразований ориентируемой поверхности рода два, Журнал СВМО 23 (2), 147–158 (2021). DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.23.202102.147-158D.A. Baranov, O.V. Pochinka, Classification of periodic transformations of an orientable surface of genus two, Zh. SVMO 23 (2), 147–158 (2021) [in Russian]. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.23.202102.147-158K.-I. Tahara, On the finite subgroups of GL(3, Z), Nagoya Math. J. 41, 169–209 (1971). DOI: https://doi.org/10.1017/S002776300001415XK.-I. Tahara, On the finite subgroups of GL(3, Z), Nagoya Math. J. 41, 169–209 (1971). DOI: https://doi.org/10.1017/S002776300001415XK.W. Kwun, J.L. Tollefson, PL Involutions of S 1 × S 1 × S 1 , Trans. Amer. Math. Soc. 203, 97–106 (1975). DOI: https://doi.org/10.2307/1997071K.W. Kwun, J.L. Tollefson, PL Involutions of S 1 × S 1 × S 1 , Trans. Amer. Math. Soc. 203, 97–106 (1975). DOI: https://doi.org/10.2307/1997071J. Hempel, Free cyclic actions on S 1 × S 1 × S 1 , Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1), 221–227 (1975). DOI: https://doi.org/10.2307/2040721J. Hempel, Free cyclic actions on S 1 × S 1 × S 1 , Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1), 221–227 (1975). DOI: https://doi.org/10.2307/2040721M.A. Natsheh, On cyclic group actions of even order on the three dimensional torus, Bull. Austral. Math. Soc. 37 (2), 189–196 (1988). DOI: https://doi.org/10.1017/S0004972700026721M.A. Natsheh, On cyclic group actions of even order on the three dimensional torus, Bull. Austral. Math. Soc. 37 (2), 189–196 (1988). DOI: https://doi.org/10.1017/S0004972700026721L.E.J. Brouwer, Aufz¨ahlung der periodisken Transformationen des Torus, в сб.: KNAW Proc. 21 II, 1352–1356 (1919).L.E.J. Brouwer, Aufz¨ahlung der periodisken Transformationen des Torus, in: KNAW Proc. 21 II, 1352–1356 (1919).Ч. Коснёвски, Начальный курс алгебраической топологии, Мир, М., 1983.C. Kosniowski, A first course in algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1980. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511569296

The authors declare that there are no conflicts of interest present.