matatecsМатематика и теоретические компьютерные наукиMathematics and Theoretical Computer Science2949-3919Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/2949-3919.2025.4.87-119matatecs-95Research ArticleСТАТЬИПродолжения фазовых траекторий и расширения дифференциальных операторовExtensions of phase trajectories and extensions of differential operatorsСакбаевВ. Ж.SakbaevV. Zh.

Всеволод Жанович Сакбаев

Миусская пл., д. 4, г. Москва, 125047

Vsevolod Zhanovich Sakbaev

4 Miysskaya sq., Moscow 125047

fumi2003@mail.ruИнститут прикладной математики им. М.В. Келдыша РАНРоссияKeldysh Institute of Applied Mathematics (Russian Academy of Sciences)Russian Federation2025050220263487119Copyright © Сакбаев В.Ж., 20262026Сакбаев В.Ж.Sakbaev V.Z.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/95

Траектории движения вдоль бездивергентных векторных полей в фазовом пространстве автономных систем дифференциальных уравнений изучаются наряду с соответствующим эволюционным дифференциальным уравнением первого порядка (уравнением Лиувилля), описывающим сдвиг аргумента заданной на фазовом пространстве функции вдоль траекторий векторного поля. В качестве фазового пространства рассматриваются конечные графы и плоские области. Отсутствие глобального по времени решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений приводит к отсутствию порождаемой задачей Коши группы преобразований пространства начальных данных. Продолжение совокупности фазовых траекторий сопоставляется с косоэрмитовым расширением дифференциального оператора, заданного на гладких финитных функциях на фазовом пространстве. Установлено, какие косоэрмитовы расширения дифференциального оператора первого порядка ассоциированы с детерминированными продолжениями фазового потока, а какие – со стохастическими продолжениями траекторий через границу фазового пространства.

The trajectories of motion along divergence-free vector fields in the phase space of autonomous systems of differential equations are studied, along with the corresponding first-order evolutionary differential equation (the Liouville equation), which describes the shift of the argument of a given function on the phase space along the trajectories of the vector field. Finite graphs and planar domains are considered as the phase space. The absence of a global-in-time solution to the Cauchy problem for the system of differential equations leads to the absence of a transformation group of the initial data space generated by the Cauchy problem. The extension of the set of phase trajectories is associated with a skew-Hermitian extension of the differential operator defined on smooth, compactly supported functions on the phase space.It is established which skew-Hermitian extensions of the first-order differential operator are associated with deterministic extensions of the phase flow, and which are associated with stochastic extensions of trajectories through the boundary of the phase space.

фазовый потокинвариантная мерарасширение фазового пространстварасширение линейного оператораиндексы дефектакупмановское представлениеphase flowinvariant measureextension of a phase spaceextension of a linear operatordeficiency indicesKoopman representationReferencesJ. Bourgain, Periodic nonlinear Schr¨odinger equation and invariant measures, Comm. Math. Phys. 166 (1), 1–26 (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02099299J. Bourgain, Periodic nonlinear Schr¨odinger equation and invariant measures, Comm. Math. Phys. 166 (1), 1–26 (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02099299P. Chernoff, J. Marsden, Properties of infinite dimensional Hamiltonian systems, Lecture Notes Math. 425, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1974. DOI: https://doi.org/10.1007/bfb0073665P. Chernoff, J. Marsden, Properties of infinite dimensional Hamiltonian systems, Lecture Notes Math. 425, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1974. DOI: https://doi.org/10.1007/bfb0073665P.E. Zhidkov, On invariant measure for some infinite-dimensional dynamical systems, Ann. Inst. H. Poincare. Sect. A 62 (3), 267–287 (1995). URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0693-3_32P.E. Zhidkov, On invariant measure for some infinite-dimensional dynamical systems, Ann. Inst. H. Poincare. Sect. A 62 (3), 267–287 (1995). URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0693-3_32Я.Б. Зельдович, Ю.П.Райзер, Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, Наука, М., 1966.Ya.B. Zeldovich, Yu.P. Rayzer, Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena. Vol. I, II, Academic Press, Inc., New York, 1966, 1967.О.А. Олейник, Е.В.Радкевич, Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой, Изд-во Моск. ун-та, М., 2010.O.A. Ole˘inik, E. V. Radkeviˇc, Second-order equations with nonnegative characteristic form, Plenum Press, New York-London, 1973. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4684-8965-1В.И.Таланов, Некоторые вопросы теории самофокусировки, УФН 107 (3), 514–515 (1972). DOI: https://doi.org/10.3367/UFNr.0107.197207m.0514V.I.Talanov, Certain problems in the theory of self-focusing, Phys. Usp. 15 (4), 521–522 (1973). DOI: https://doi.org/10.1070/PU1973v015n04ABEH005010O.S. Rozanova, Formation of singularities of solutions of the equations of motion of compressible fluids subjected to external forces in the case of several spatial variables, J. Math. Sci. 143 (4), 3355–3376 (2007). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-007-0214-2O.S. Rozanova, Formation of singularities of solutions of the equations of motion of compressible fluids subjected to external forces in the case of several spatial variables, J. Math. Sci. 143 (4), 3355–3376 (2007). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-007-0214-2M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics. I: Functional Analysis, Academic Press, New York-London, 1972 DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-585001-8.X5001-6M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics. I: Functional Analysis, Academic Press, New York-London, 1972 DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-585001-8.X5001-6И.В. Волович, В.Ж. Сакбаев, Об универсальной краевой задаче для уравнений математической физики, Тр. МИАН 285, 64–88 (2014). DOI: https://doi.org/10.1134/S037196851402006XI.V.Volovich, V.Zh. Sakbaev, Universal boundary value problem for equations of mathematical physics, Proc. Steklov Inst. Math., 285, 56–80 (2014). DOI: https://doi.org/10.1134/S0081543814040063Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, М., 1966.N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Theory of linear operators in Hilbert space, Dover Publications, Inc., New York, 1993.Ю.В. Покорный, О.M. Пенкин, В.Л.Прядиев, А.В. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров, Дифференциальные уравнения на геометрических графах, Физматлит, М., 2004.Yu.V.Pokorny, O.M.Penkin, V.L. Pryadiev, A.V. Borovskih, K.P. Lazarev, S.A. Shabrov, Differential equations on geometrical graphs, Fizmatlit, Moscow, 2004 [in Russian].В.Л.Прядиев, Метод граничных режимов в решении начально-краевой задачи для волнового уравнения на геометрическом графе, СМФН 71 (2), 287–298 (2025). DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2025-71-2-287-298V.L. Pryadiev, The boundary regimes method in solving of the initial-boundary value problem for the wave equation on a geometrical graph, CMFD 71 (2), 287–298 (2025) [in Russian]. DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2025-71-2-287-298G.L. Alfimov, M.E. Lebedev, Complete description of bounded solutions for a Duffing-type equation with a periodic piecewise constant coefficient, Rus. J. Nonlin. Dyn. 19 (4), 473–506 (2023). DOI: https://doi.org/10.20537/nd231102G.L. Alfimov, M.E. Lebedev, Complete description of bounded solutions for a Duffing-type equation with a periodic piecewise constant coefficient, Rus. J. Nonlin. Dyn. 19 (4), 473–506 (2023). DOI: https://doi.org/10.20537/nd231102С.А. Степин, А.И. Шафаревич, Промежуточные асимптотики решений уравнений типа Эмдена–Фаулера, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр. 520 (1), 24–28 (2024). DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954324060048S.A. Stepin, A.I. Shafarevich, Intermediate asymptotics for solutions to equations of Emden–Fowler type, Dokl. Math. 110 (3), 469–473 (2024). DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562424702302Г. Фикера, К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка, Математика 7 (6), 99–122 (1963). URL: https://www.mathnet.ru/rus/mat288G. Fichera, On a unified theory of boundary value problems for ellipticparabolic equations of second order, in: Boundary problems in differential equations, Univ. of Wisconsin, Madison, 97–120 (1960).T.V. Anoop, V. Bobkov, M. Ghosh, Neumann domains of planar analytic eigenfunctions, arXiv:2410.07811 [math.AP], 2024. URL: https://arxiv.org/abs/2410.07811T.V. Anoop, V. Bobkov, M. Ghosh, Neumann domains of planar analytic eigenfunctions, arXiv:2410.07811 [math.AP], 2024. URL: https://arxiv.org/abs/2410.07811V.Zh. Sakbaev, O.G. Smolyanov, Diffusion and quantum dynamics on graphs, Dokl. Math. 88 (1), 404–408 (2013). DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562413040108V.Zh. Sakbaev, O.G. Smolyanov, Diffusion and quantum dynamics on graphs, Dokl. Math. 88 (1), 404–408 (2013). DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562413040108В.Ж. Сакбаев, О спектральных аспектах регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сб. статей, Тр. МИАН 261, 258–267 (2008). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm754V.Zh. Sakbaev, Spectral aspects of regularization of the Cauchy problem for a degenerate equation, Proc. Steklov Inst. Math. 261, 253–261 (2008). DOI: https://doi.org/10.1134/S008154380802020XА.А.Толченников, В.Л. Чернышев, А.И. Шафаревич, Асимптотические свойства и классические динамические системы в квантовых задачах на сингулярных пространствах, Нелинейная динам. 6 (3), 623–638 (2010). URL: https://doi.org/10.20537/nd1003010A.A.Tolchennikov, V.L. Chernyshov, A.I. Shafarevich, Asymptotic properties and classical dynamical systems in quantum problems on singular spaces, Rus. J. Nonlin. Dyn. 6 (3), 623–638 (2010) [in Russian]. DOI: https://doi.org/10.20537/nd1003010В.Л. Чернышев, А.И. Шафаревич, Квазиклассический спектр оператора Шрёдингера на геометрическом графе, Матем. заметки 82 (4), 606–620 (2007). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm3853V.L. Chernyshev, A.I. Shafarevich, Semiclassical spectrum of the Schr¨odinger operator on a geometric graph, Math. Notes 82:4, 542–554 (2007). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434607090313V.L. Chernyshev, A.I. Shafarevich, Statistics of Gaussian packets on metric and decorated graphs, Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 372, art. 20130145 (2014). DOI: https://doi.org/10.1098/rsta.2013.0145V.L. Chernyshev, A.I. Shafarevich, Statistics of Gaussian packets on metric and decorated graphs, Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 372, art. 20130145 (2014). DOI: https://doi.org/10.1098/rsta.2013.0145А.Д. Морозов, К вопросу о полном качественном исследовании уравнения Дюффинга, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 13 (5), 1134–1152 (1973). URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf6552A.D. Morozov, Approach to a complete qualitative study of Duffing’s equation, USSR. Comput. Math. Math. Phys. 13 (5), 45–66 (1973). DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(73)90034-7В.А. Глазатов, В.Ж. Сакбаев, Динамика нелинейных волновых систем, допускающая формирование особенностей, Изв. вузов. Радиофизика 68 (5–6), 496–504 (2025). DOI: https://doi.org/10.52452/00213462_2025_68_05_496V.A. Glazatov, V.Zh. Sakbaev, Dynamics of nonlinear wave systems, admitting singularity formation, Izv. Vuz. Radiofizika 68 (5–6), 496–504 (2025) [in Russian]. DOI: https://doi.org/10.52452/00213462_2025_68_05_496V.A. Glazatov, V.Zh. Sakbaev, Analysis of exploding solutions of an infinite-dimensional linear Hamiltonian system in phase space extensions, Lobachevskii J. Math. 46 (3), 1271–1283 (2025). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080225605624V.A. Glazatov, V.Zh. Sakbaev, Analysis of exploding solutions of an infinite-dimensional linear Hamiltonian system in phase space extensions, Lobachevskii J. Math. 46 (3), 1271–1283 (2025). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080225605624K.-J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, Graduate texts in mathematics 194, Springer-Verlag, New-York, 2000. DOI: https://doi.org/10.1007/b97696K.-J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, Graduate texts in mathematics 194, Springer-Verlag, New-York, 2000. DOI: https://doi.org/10.1007/b97696М.А. Айзерман, Классическая механика, Москва, Наука, 1980.M.A. Aizerman, Classical mechanics, Nauka, Moscow, 1980 [in Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.