О продолжении сингулярных линейных бесконечномерных гамильтоновых потоков
https://doi.org/10.26907/2949-3919.2024.1.31-54
Аннотация
Исследуется явление ухода на бесконечность за конечное время фазовых траекторий гамильтоновой системы, фазовым пространством которой является сепарабельное гильбертово пространство. Показано, что если гамильтониан является плотно определенной квадратичной формой на фазовом пространстве, не мажорируемой ни снизу, ни сверху квадратичной формой гильбертовой нормы, то фазовые траектории допускают уход на бесконечность за конечное время. Для описания фазового потока таких гамильтоновых систем вводится расширенное фазовое пространство, которое представляет собой локально выпуклое пространство, на которое допускают продолжения определенные на исходном гильбертовом пространстве функция Гамильтона, траектории гамильтоновой системы и симплектическая форма. Также исследуются инвариантные относительно потока меры на расширенном пространстве. Исследованы свойства купмановкого унитарного представления продолженного фазового потока в гильбертовом пространстве функций, квадратично интегрируемых по инвариантной мере.
Об авторах
В. А. Глазатов
Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН
Россия
Россия
Владимир Андреевич Глазатов
Миусская пл., д. 4, г. Москва, 125047
В. Ж. Сакбаев
Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН
Россия
Россия
Всеволод Жанович Сакбаев
Миусская пл., д. 4, г. Москва, 125047
Список литературы
1. J. Bourgain, Periodic nonlinear Schrodinger equation and invariant measures, Comm. Math. Phys. 166, 1–26 (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02099299
2. P. Chernoff, J. Marsden, Properties of infinite dimensional Hamiltonian systems, Lecture Notes Math. 425, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1974. DOI: https://doi.org/10.1007/bfb0073665
3. P.E. Zhidkov, On invariant measure for some infinite-dimensional dynamical systems, Ann. Inst. H. Poincare Sect. A 62, 267–287 (1995). URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0693-3_32
4. V.M. Busovikov, V.Zh. Sakbaev, Direct limit of shift-invariant measures on a Hilbert space, Lobachevskii J. Math. 44 (6), 1998–2006 (2023). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223060136
5. V.Zh. Sakbaev, Flows in infinite-dimensional phase space equipped with a finitely-additive invariant measure, Mathematics 11 (5), 1161 (2023). DOI: https://doi.org/10.3390/math11051161
6. Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Неограниченные случайные операторы и формулы Фейнмана, Изв. РАН. Сер. матем. 80 (6), 141–172 (2016). DOI: https://doi.org/10.4213/im8402
7. M.D. Srinivas, Collapse postulate for observables with continuous spectra, Comm. Math. Phys. 71 (2), 131–158 (1980). DOI: https://doi.org/10.1007/bf01197917
8. В.В. Козлов, О.Г. Смолянов, Гамильтонов подход к вторичному квантованию, Докл. РАН 483 (2), 138–142 (2018). DOI: https://doi.org/10.31857/S086956520003467-6
9. О.Г. Смолянов, Н.Н.Шамаров, Квантование по Шрёдингеру бесконечномерных гамильтоновых систем с неквадратичной функцией Гамильтона, Докл. РАН. 492 (1), 65–69 (2020). DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954320030200
10. T. Gill, A. Kirtadze, G. Pantsulaia, A. Plichko, Existence and uniqueness of translation invariant measures in separable Banach spaces, Functiones et Approximatio 50 (2), 1– 19 (2014). DOI: https://10.7169/facm/2014.50.2.12
11. R. Baker, “Lebesgue measure” on R∞, Proc. Amer. Math. Soc. 113 (4), 1023–1029 (1991). DOI: https://doi.org/10.2307/2048779
12. Д.В. Завадский, Аналоги меры Лебега в пространствах последовательностей и классы интегрируемых по ним функций, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. 151, 37–44 (2018). URL: https://www.mathnet.ru/rus/into338
13. В.Ж. Сакбаев, Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвига, Теор. матем. физ. 191 (3), 473–502 (2017). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9153
14. В.А. Глазатов, В.Ж. Сакбаев, Меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно гамильтоновых потоков, Уфимск. матем. журн. 14 (2), 3–22 (2022). URL: https://www.mathnet.ru/rus/ufa607
15. А.Ю. Хренников, Симплектическая геометрия на бесконечномерном фазовом пространстве и асимптотическое представление квантовых средних гауссовыми функциональными интегралами, Изв. РАН. Сер. Матем. 72 (1), 137–160 (2008). DOI: https://doi.org/10.4213/im786
16. Н. Данфорд, Дж.Т.Шварц, Линейные операторы. Т. 1. Общая теория, УРСС, М., 2004.
17. Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев, А.С. Усачевa, Геометрия банаховых пределов и их приложения, УМН 75 (4), 153–194 (2020). DOI: https://doi.org/10.4213/rm9901
18. F. Sukochev, A. Usachev, D. Zanin, Generalized limits with additional invariance properties and their applications to noncommutative geometry, Adv. Math. 239, 164–189 (2013). DOI: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.02.012
Рецензия
Для цитирования:
Глазатов В.А., Сакбаев В.Ж. О продолжении сингулярных линейных бесконечномерных гамильтоновых потоков. Математика и теоретические компьютерные науки. 2024;2(1):31-54. https://doi.org/10.26907/2949-3919.2024.1.31-54
For citation:
Glazatov V.A., Sakbaev V.Z. On the extension of singular linear infinite-dimensional Hamiltonian flows. Mathematics and Theoretical Computer Science. 2024;2(1):31-54. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/2949-3919.2024.1.31-54
Просмотров:
222
Послать статью по эл. почте 