Статья носит обзорно-методический характер и посвящена развитию идей Е.И. Золотарёва, заложенных в его подходе к доказательству квадратичного закона взаимности (1872 г.). Мы рассматриваем расширения подхода Золотарёва на абстрактные числовые кольца, приведенные в работе А. Бруньята и П.Л. Кларка (2015 г.), и на конечные группы, изученные в статье У. Дьюка и К. Хопкинс (2005 г.). Также обсуждаются связи этих исследований с некоторыми классическими результатами и различными подходами к доказательству квадратичного закона взаимности.

Исследуются линейные полиэлементные уравнения для функций, аналитических в плоскости с симметричным разрезом по мнимой оси и исчезающих на бесконечности. Решение ищется в классе функций, представимых интегралом типа Коши по данным разрезам с четной или нечетной плотностью. Проводится регуляризация этих уравнений и исследование вопроса об ее равносильности. При этом существенно используется теория эллиптических функций. Полученные результаты применимы к исследованию интерполяционных задач для целых функций экспоненциального типа из класса A.

Рассматриваются приведенные полугрупповые C^∗-алгебры, порожденные левыми регулярными изометрическими представлениями свободных произведений счетных семейств полугрупп рациональных чисел. Показывается, что эти алгебры являются ядерными и аменабельными. Получена их характеризация в качестве универсальных C^∗-алгебр, задаваемых множествами порождающих элементов, удовлетворяющих полиномиальным соотношениям.

Исследуется взаимосвязь между свойствами квантовых состояний в гильбертовом пространстве ℓ₂(κ) и теоретико-множественной природой кардинала κ. Основное внимание уделяется вопросу существования сингулярных σ-аддитивных состояний – функционалов, индуцированные меры которых являются σ-аддитивными, но при этом обращаются в нуль на конечных множествах. Хотя известно, что существование таких состояний эквивалентно измеримости κ по Уламу, их структурные и динамические свойства остаются во многом неизученными. Мы доказываем, что любое σ-аддитивное состояние на диагональной алгебре представимо в виде интеграла Петтиса по сингулярной σ-аддитивной мере, что расширяет классическую теорию представлений на ненормальный сектор. Кроме того, мы конструируем класс квантовых каналов, использующих σ-полные ультрафильтры, которые отображают нормальные состояния в сингулярные σ-аддитивные состояния, фактически «архивируя» информацию в сингулярную часть пространства состояний.

Исследуется класс строго положительных стохастических операторов степени n, действующих на одномерном симплексе. Основное внимание уделяется задаче о количестве неподвижных точек таких операторов. Показано, что эта задача сводится к исследованию количества корней соответствующего полинома степени n на интервале (0,1). Доказано существование неподвижной точки для произвольного n.

Для квадратичного случая (n = 2) установлена единственность неподвижной точки. Для кубического оператора (n = 3) получены условия существования одной, двух или трех неподвижных точек. Для оператора четвертой степени (n = 4) доказаны критерии количества неподвижных точек в зависимости от параметров оператора.

Рассматривается задача вещественной изотопической классификации взаимных расположений в вещественной проективной плоскости двух M-кривых степени 4. На изучаемые расположения наложены условие максимальности (овал одной из этих кривых имеет 16 попарно различных общих точек с овалом другой из них) и условие комбинаторного характера, выделяющее специальный тип таких расположений. Получена полная изотопическая классификация указанных расположений. Доказательства алгебраической нереализуемости топологических моделей расположений изучаемого класса кривыми степени 8 проводятся методом Оревкова, основанным на применении теории кос и зацеплений.