Пусть A^sem = {A ∈ A : Re A = A^∗A} – множество всех полуортогональных проекторов унитальной C^∗-алгебры A, I – единица A. Формула U = 2A − I (A ∈ A^sem) задает биекцию между множеством A^sem и множеством всех изометрий из A. Для любого натурального числа n ≥ 2 существует некоммутативный многочлен степени n, который выдает полуортогональный проектор при подстановке произвольного набора A₁, . . . , A_n ∈ A^sem. Каждый элемент A ∈ A^sem гипонормален и лежит в единичном шаре C^∗-алгебры A. Если A ∈ A^sem, то A² гипонормален. Если A, A² ∈ A^sem, то A является проектором. Если A ∈ A^sem и A = A_n для некоторого n ∈ N, n ≥ 2, то A является  нормальным элементом, и A – проектор при n = 2.

Установлено, что эффективно невырожденная нумерация любого поля конечной характеристики является негативной.

Доказаны соотношения между регулярностью двумерных и одномерных языков. Каждому двумерному языку ставятся в соответствие две последовательности одномерных языков, соответствующие строкам и столбцам двумерного языка. Для каждого из приведенных условий доказано существование как регулярных, так и нерегулярных двумерных языков: все строчные и все столбцовые языки регулярны; все строчные языки регулярны, все столбцовые языки нерегулярны; все столбцовые языки регулярны, все строчные языки нерегулярны; и все строчные, и все столбцовые языки нерегулярны.

Доказывается, что для слабо транзитивных логик с универсальной модальностью, проверку выполнимости формулы для которых можно произвести в PSPACE, добавление аксиомы связности не увеличивает сложность этой проверки, причем строится явный алгоритм, который решает эту задачу.

Обобщенный случайный процесс со значениями в измеримом пространстве определяется как комплекснозначная конечная аддитивная цилиндрическая мера на пространстве траекторий со значениями в этом измеримом пространстве. Для получения представления решений эволюционных уравнений с помощью усреднения функционалов на пространстве траекторий обобщенного случайного процесса в нашей статье построено и исследовано биективное отображение пространства операторнозначных функций в множество комплекснозначных конечных аддитивных цилиндрических мер на пространстве траекторий. Получены предельные теоремы для обобщенных случайных процессов. Во второй части статьи будет рассмотрено применение построенного биективного отображения к заданию возмущенных полугрупп и эволюционных семейств операторов с помощью формулы Фейнмана–Каца.

Доказывается, что выбор точки начала обхода замкнутой кривой на плоскости влияет на свойства ее внешней геометрии.