Формулы Фейнмана–Каца для решений эволюционных уравнений I. Обобщенные случайные процессы и семейства операторов

Обобщенный случайный процесс со значениями в измеримом пространстве определяется как комплекснозначная конечная аддитивная цилиндрическая мера на пространстве траекторий со значениями в этом измеримом пространстве. Для получения представления решений эволюционных уравнений с помощью усреднения функционалов на пространстве траекторий обобщенного случайного процесса в нашей статье построено и исследовано биективное отображение пространства операторнозначных функций в множество комплекснозначных конечных аддитивных цилиндрических мер на пространстве траекторий. Получены предельные теоремы для обобщенных случайных процессов. Во второй части статьи будет рассмотрено применение построенного биективного отображения к заданию возмущенных полугрупп и эволюционных семейств операторов с помощью формулы Фейнмана–Каца.

1. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics. II: Fourier analysis, selfadjointness. Academic Press, New York–London, 1975.

2. О.Г. Смолянов, Е.Т. Шавгулидзе, Континуальные интегралы, URSS, М., 2015.

3. А.Д. Вентцель, Курс теории случайных процессов, Наука. Физматлит, М., 1996.

4. R.P. Feynman, An operation calculus having applications in quantum electrodynamics, Phys. Rev. (2), 84, 108–128 (1951). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.84.108

5. R.P. Feynman, Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Rev. Modern Physics 20, 367–387 (1948). DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.20.367

6. E. Nelson, Feynman integrals and the Schrodinger equation, J. Mathematical Phys. 5 (3), 332–343 (1964). DOI: https://doi.org/10.1063/1.1704124

7. B. Simon, Functional integration and quantum physics, Academic Press, New York– London, 1979.

8. Е.Т. Шавгулидзе, Специальные самосопряженные расширения дифференциальных операторов Шредингера с помощью интегралов Фейнмана, Докл. РАН 348 (6), 743– 745 (1996). URL: https://www.mathnet.ru/rus/dan4093

9. В.П. Маслов, А.М. Чеботарев, Определение континуального интеграла Фейнмана в P -представлении, Докл. АН СССР 229 (1), 37–38 (1976). URL: https://www.mathnet.ru/rus/dan40458

10. Yu.N. Orlov, V.Z. Sakbaev, E.V. Shmidt, Compositions of random processes in a Hilbert space and its limit distribution, Lobachevskii J. Math. 44 (4), 1432–1447 (2023). DOI: http://doi.org/10.1134/S1995080223040212

11. Yu.N. Orlov, V.Z. Sakbaev, Feynman–Kac formulas for diff ence-diff ential equations of retarded type, Lobachevskii J. Math. 45 (6), 2567–2576 (2024). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080224602790

12. V.Zh. Sakbaev, N. Tsoy, Analogue of Chernoff theorem for cylindrical pseudomeasures, Lobachevskii J. Math. 41 (12), 2369–2382 (2020). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220120306

13. V.Zh. Sakbaev, E.V. Shmidt, V. Shmidt, Limit distribution for compositions of random operators, Lobachevskii J. Math. 43 (7), 1740–1754 (2022). DOI: https://doi.org/10.1134/S199508022210033X

14. В.П. Маслов, Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана, Наука, М., 1976.

15. А.В. Булинский, А.Н. Ширяев, Теория случайных процессов, Физматлит, М., 2005.

16. В.И. Богачев, Н.В. Крылов, М. Рёкнер, Эллиптические и параболические уравнения для мер, УМН 64 (6), 5–116 (2009). DOI: https://doi.org/10.4213/rm9326

17. В.И. Богачев, Основы теории меры. Том 1, Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2003.

18. Ю.Л. Далецкий, С.В. Фомин, Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах, Наука, М., 1983.

19. L. Accardi, Y.G. Lu, I.V. Volovich, Quantum theory and its stochastic limit, SpringerVerlag, Berlin, 2002. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-04929-7

20. Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Формулы Фейнмана для нелинейных эволюционных уравнений, Доклады Академии Наук 477 (3), 271–275 (2017). DOI: https://doi.org/10.7868/S0869565217330027

21. T. Liggett, Interacting particle systems, Springer-Verlag, Berlin, 2005. DOI: https://doi.org/10.1007/b138374

22. А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин, Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений, Наука, М., 1979.

23. Е.Б. Дынкин, Марковские процессы, Наука, M., 1963.

24. J. Zinn-Justin, Path integrals in quantum mechanics, Oxford University Press, Oxford, 2010. DOI: https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198566748.001.0001

25. C. Bender, Ya.A. Butko, Stochastic solutions of generalized time-fractional evolution equations, Fract. Calc. Appl. Anal. 25 (2), 488–519 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s13540-022-00025-3

26. C. Bender, M. Bormann, Ya.A. Butko, Subordination principle and Feynman–Kac formulae for generalized time-fractional evolution equations, Fract. Calc. Appl. Anal. 25 (5), 1818– 1836 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s13540-022-00082-8

27. Ю.В. Прохоров, Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей, Теория вероятн. и ее примен. 1 (3), 177–238 (1956). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tvp4997

28. Ж. Жакод, А.Н. Ширяев, Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1–2, Физматлит, М. 1994.

29. А.Д. Вентцель, С.А. Молчанов, В.Н. Тутубалин, Асимптотические задачи теории вероятностей и теории случайных сред, Теория вероятн. и ее примен. 35 (1), 27–34 (1990). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tvp903

30. А.Д. Вентцель, Уточнение функциональной центральной предельной теоремы для стационарных процессов, Теория вероятн. и ее примен. 34 (3), 451–464 (1989). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tvp1295

31. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. II, Мир, М., 1984.

32. Дж. Гоф, Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Рандомизированное квантование гамильтоновых систем, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр. 498, 31–36 (2021). DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954321030085

33. Yu.N. Orlov, V.Z. Sakbaev, E.V. Shmidt, Operator approach to weak convergence of measures and limit theorems for random operators, Lobachevskii J. Math. 42 (10), 2413– 2426 (2021). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221100188

34. V.Zh. Sakbaev, Averaging of random flows of linear and nonlinear maps, J. Phys.: Conf. Ser. 990, art. 012012 (2018). DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/990/1/012012

35. В.И. Богачев, О.Г. Смолянов, Действительный и функциональный анализ: Университетский курс, Регулярная и хаотическая динамика, Москва-Ижевск, 2009.

36. P.R. Chernoff, Note on product formulas for operator semigroups, J. Functional Analysis 2 (2), 238–242 (1968). DOI: https://doi.org/10.1016/0022-1236(68)90020-7

37. M.A. Berger, Central limit theorem for products of random matrices, Trans. Amer. Math. Soc. 285 (2), 777–803 (1984). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1984-0752503-3

38. В.М. Бусовиков, В.Ж. Сакбаев, Пространства Соболева функций на гильбертовом пространстве с трансляционно инвариантной мерой и аппроксимации полугрупп Изв. РАН. Сер. матем. 84 (4), 79–109 (2020). DOI: https://doi.org/10.4213/im8890

39. В.Ж. Сакбаев, Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов, ТМФ 191 (3), 473–502 (2017). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9153

40. В.И. Авербух, О.Г. Смолянов, С.В. Фомин, Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. I. Дифференцируемые меры, Тр. ММО 24, 133–174 (1971). URL: https://www.mathnet.ru/rus/mmo249

41. А. Вейль, Интегрирование в топологических группах и его применение, Изд-во иностранной литературы, М., 1950.

42. А.М. Вершик, Существует ли мера Лебега в бесконечномерном пространстве?, Тр. МИАН 259, 256–281 (2007). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm579

43. В.Ж. Сакбаев, Случайные блуждания и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов и поворотов, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 140, 88–118 (2017). URL: https://www.mathnet.ru/rus/into237

44. V.Zh. Sakbaev, Flows in infi ite-dimensional phase space equipped with a fi invariant measure, Mathematics 11 (5), art. 1161 (2023). DOI: https://doi.org/10.3390/math11051161

45. R. Baker, Lebesgue measure on R∞, Proc. Amer. Math. Soc. 113 (4), 1023–1029 (1991). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1991-1062827-X

46. R.L. Baker, Lebesgue measure on R∞. II, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (9), 2577–2591 (2004). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07372-1

47. T. Gill, A. Kirtadze, G. Pantsulaia, A. Plichko, Existence and uniqueness of translation invariant measures in separable Banach spaces, Funct. Approx. Comment. Math. 50 (2), 401–419 (2014). DOI: http://doi.org/10.7169/facm/2014.50.2.12

48. D.V. Zavadsky, Инвариантные относительно сдвигов меры на пространствах последовательностей, Тр. МФТИ 9 (4), 142–148 (2017).

49. У. Гренандер, Вероятности на алгебраических структурах, Мир, М. 1966.

50. В.И. Оселедец, Марковские цепи, косые произведения и эргодические теоремы для “общих” динамических систем, Теория вероятн. и ее примен. 10 (3), 551–557 (1965). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tvp554

51. А.В. Скороход, Произведения независимых случайных операторов, УМН 38 (4), 255–280 (1983). URL: https://www.mathnet.ru/rus/rm2956

52. Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Формулы Фейнмана и закон больших чисел для случайных однопараметрических полугрупп, Тр. МИАН 306, 210–226 (2019). DOI: https://doi.org/10.4213/tm4003

53. O.G. Smolyanov, A.G. Tokarev, A. Truman, Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula, J. Math. Phys. 43 (10), 5161–5171 (2002). DOI: https://doi.org/10.1063/1.1500422

54. H.H. Kuo, N. Obata, K. Saito, Diagonalization of the L´evy Laplacian and related stable processes, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 5 (3), 317–331 (2002). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219025702000882

55. I.D. Remizov, Quasi-Feynman formulas – a method of obtaining the evolution operator for the Schro¨dinger equation, J. Funct. Anal. 270 (12), 4540–4557 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2015.11.017

56. B.O. Volkov, Levy Laplacian on manifold and Yang-Mills heat flow, Lobachevskii J. Math. 40 (10), 1619–1630 (2019). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080219100305

57. B.O. Volkov, L´evy Laplacians and instantons on manifolds, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 23 (2), art. 2050008 (2020). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219025720500083

58. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972.

59. П. Биллингсли, Сходимость вероятностных мер, Наука, М., 1977.

60. В.И. Богачев, Основы теории меры. Том 2, Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2003.

61. Д.В. Завадский, В.Ж. Сакбаев, Диффузия на гильбертовом пространстве, снабженном трансляционно и ротационно инвариантной мерой, Тр. МИАН 306, 112–130 (2019). DOI: https://doi.org/10.4213/tm3999