О топологической классификации потоков с гетероклиническими кривыми на четырехмерных многоообразиях

Получена топологическая классификация гладких структурно устойчивых потоков на четырехмерных замкнутых многообразиях, блуждающее множество которых содержит изолированные траектории, соединяющие седловые состояния равновесия (гетероклинические кривые). Из соображений размерности гетероклинические кривые таких потоков принадлежат пересечению инвариантных многообразий седел соседних индексов Морса. Мы предполагаем, что неблуждающее множество рассматриваемых потоков состоит в точности из одного источника, одного стока и произвольного числа седел, размерность неустойчивых многообразий которых равна 1 и 2. В работе получены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности таких потоков и предъявлен алогорим реализации представителя каждого класса топологической эквивалентности. В частности, показано, что в рассматриваемом классе потоков на сфере S 4 существует ровно один класс топологической эквивалентности потоков с единственной гетероклинической кривой и счетное множество топологически неэквивалентных потоков с тремя гетероклиническими кривыми. Последний результат контрастирует с трехмерной ситуацией, где для аналогичного класса потоков существует лишь конечное число классов эквивалентности для каждого числа гетероклинических кривых. 

1. В.З. Гринес, Е.Я. Гуревич, Е.В.Жужома, О.В. Починка, Классификация систем Морса–Смейла и топологическая структура несущих многообразий, УМН 74 (1), 41–116 (2019). DOI: https://doi.org/10.4213/rm9855

2. V.Z. Grines, T.V. Medvedev, O.V. Pochinka, Dynamical systems on 2- and 3-manifolds, Springer, Switzerland, 2016. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-44847-3

3. В.З. Гринес, Е.Я. Гуревич, Проблемы топологической классификации многомерных систем Морса–Смейла, Ижевский ин-т комп. иссл., Ижевск, 2022. URL: https://publications.hse.ru/books/804652432

4. Е.В.Жужома, В.С. Медведев, Непрерывные потоки Морса–Смейла с тремя состояниями равновесия, Матем. сб. 207 (5), 69–92 (2016). DOI: https://doi.org/10.4213/sm8565

5. В.З. Гринес, Е.Я. Гуревич, О классификации потоков Морса–Смейла на проективноподобных многообразиях, Изв. РАН. Сер. матем. 86 (5), 43–72 (2022). DOI: https://doi.org/10.4213/im9197

6. В.З. Гринес, Е.Я. Гуревич, Комбинаторный инвариант градиентно-подобных потоков на связной сумме S n−1 × S 1 , Матем. сб. 214 (5), 97–127 (2023). DOI: https://doi.org/10.4213/sm9761

7. Е.Я. Гуревич, И.А. Сараев, Диаграмма Кирби полярных потоков на четырехмерных многообразиях, Матем. заметки 116 (1), 44–66 (2024). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14151

8. E.Ya. Gurevich, I.A. Saraev, Topological classification of polar flows on four-dimensional manifolds, Regul. Chaotic Dyn. 30 (2), 254–278 (2025). DOI: https://doi.org/10.1134/S1560354725020054

9. M.H. Freedman, The topology of four-dimensional manifolds, J. Differential Geometry 17 (3), 357–453 (1982). DOI: https://doi.org/10.4310/jdg/1214437136

10. В.В. Прасолов, Элементы теории гомологий, МЦНМО, М., 2006.

11. S. Smale, On gradient dynamical systems, Ann. Math. 74 (1), 199–206 (1961). URL: https://doi.org/10.2307/1970311

12. K.R. Meyer, Energy functions for Morse Smale systems, Amer. J. Math. 90, 1031–1040 (1968). DOI: https://doi.org/10.2307/2373287

13. D. Rolfsen, Knots and links, Mathematics Lecture Series 7, Publish or Perish, Inc., Houston, TX, 1990.

14. В.В. Прасолов, А.Б. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия, МЦНМО, М., 1997.

15. C.McA. Gordon, J. Luecke, Knots are determined by their complements, J. AMS 2 (2), 371–415 (1989). DOI: https://doi.org/10.2307/1990979

16. M. Morse, The existence of polar non-degenerate functions on differentiable manifolds, Ann. Math. 71 (2), 352–383 (1960). DOI: https://doi.org/10.2307/1970086

17. K. Рурк, Б. Сандерсон, Введение в кусочно-линейную топологию, Мир, М., 1974.

18. F. Laudenbach, V. Po´enaru, A note on 4-dimensional handlebodies, Bull. Soc. Math. France 100, 337–344 (1972). DOI: https://doi.org/10.24033/bsmf.1741

19. R. Kirby, A calculus for framed links in S 3 , Invent. Math. 45 (1), 35–56 (1978). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01406222

20. E.C. de S´a, A link calculus for 4-manifolds, in: Topology of low-dimensional manifolds, Springer, Berlin, Heidelberg, 16–30 (1979). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0063185

21. С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы, УМН 25 (1), 113–185 (1970). URL: https://www.mathnet.ru/rus/rm5295

22. R.S. Palais, Ch.-L. Terng, Critical point theory and submanifold geometry, Springer-Verlag, Berlin, 1988. DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0087442

23. H. Seifert, W. Threlfall, Seifert and Threlfall: a textbook of topology, Academic Press, New York-London, 1980.

24. Ж. Палис, В. Ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем, Мир, М., 1986.

25. R.H. Bing, Locally tame sets are tame, Ann. Math. 59 (1), 145–158 (1954). DOI: https://doi.org/10.2307/1969836