Статья содержит краткую биографию профессора М.В. Долова, описание его основных научных достижений и краткое описание статей, вошедших в специальные выпуски журнала “Математика и теоретические компьютерные науки”, посвященные проведенной в Нижегородском государственном университете конференции к 90-летию М.В. Долова.
5 ноября 2024 года исполнилось 90 лет со дня рождения выдающегося ученого и замечательного человека Михаила Васильевича Долова. Это краткое сообщение посвящено данному событию и содержит обзор некоторых результатов М.В. Долова и других сотрудников Нижегородского государственного университета по второй части шестнадцатой проблемы Гильберта.
Получена топологическая классификация гладких структурно устойчивых потоков на четырехмерных замкнутых многообразиях, блуждающее множество которых содержит изолированные траектории, соединяющие седловые состояния равновесия (гетероклинические кривые). Из соображений размерности гетероклинические кривые таких потоков принадлежат пересечению инвариантных многообразий седел соседних индексов Морса. Мы предполагаем, что неблуждающее множество рассматриваемых потоков состоит в точности из одного источника, одного стока и произвольного числа седел, размерность неустойчивых многообразий которых равна 1 и 2. В работе получены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности таких потоков и предъявлен алогорим реализации представителя каждого класса топологической эквивалентности. В частности, показано, что в рассматриваемом классе потоков на сфере S 4 существует ровно один класс топологической эквивалентности потоков с единственной гетероклинической кривой и счетное множество топологически неэквивалентных потоков с тремя гетероклиническими кривыми. Последний результат контрастирует с трехмерной ситуацией, где для аналогичного класса потоков существует лишь конечное число классов эквивалентности для каждого числа гетероклинических кривых.
Пусть G – группа гомеоморфизмов n-мерного топологического многообразия M с непустым краем ∂M. Целью работы является изучение влияния непустого края многообразия M на структуру глобальных аттракторов группы гомеоморфизмов G. Наш основной результат состоит в доказательстве того, что любой глобальный аттрактор A группы гомеоморфизмов G на многообразии M с непустым краем ∂M либо принадлежит краю и может быть как собственным подмножеством края, так и совпадать с краем, либо равен объединению края с глобальным аттрактором группы, индуцированной на внутренности многообразия M. Показано, что этим свойством неглобальные аттракторы, вообще говоря, не обладают. Построены примеры, иллюстрирующие содержание работы, включая пример с двумя различными глобальными аттракторами.
Статья продолжает исследования асимптотического поведения траекторий наиболее простых косых произведений на многомерных клетках, проводимые авторами. Здесь дано описание структуры неблуждающего множества непрерывных косых произведений, имеющих замкнутое множество периодических точек и таких, что множество (наименьших) периодов периодических точек, не ограничено. Построен пример дифференцируемого косого произведения с замкнутым множеством периодических точек, заданного на n-мерной клетке (n ≥ 3) и имеющего одномерное ω-предельное множество.
Согласно Я. Нильсену и Х. Хангу, каждый класс топологической сопряженности периодических гомеоморфизмов ориентируемых компактных поверхностей полностью описывается конечным набором данных, называемых характеристикой. Для двумерной сферы исчерпывающие классификационные результаты с построением линейных представителей в каждом классе сопряженности получены Б. Керекьярто. Для двумерного тора подобные результаты получены при участии авторов настоящей статьи. В данной работе найдены все характеристики меняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов двумерного тора. Для каждой из них построен гомеоморфизм, представляющий класс топологической сопряженности. Классификация периодических гомеоморфизмов, кроме самостоятельного интереса, играет ключевую роль в решении проблемы Палиса–Пью о построении устойчивых дуг в пространстве дискретных динамических систем, входящей в список 50 важнейших проблем динамических систем. Для всех классов градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей, где эта проблема решена, использовалась именно идея тесной связи таких систем с периодическими преобразованиями. Таким образом, полученный результат позволит расширить класс систем, для которых проблема Палиса–Пью решена.
Пусть X – конечное дерево, а f : X → X – непрерывное отображение, имеющее нулевую топологическую энтропию и бесконечное минимальное множество M. Нами доказано, что сужение f|M отображения f на M топологически сопряжено отображению счетчика τα, где α = (j1, . . . , jn, 2, 2, . . .) есть последовательность при ji ≥ 2 для 1 ≤ i ≤ n. Дано описание топологической структуры конечных деревьев, на которых существуют непрерывные отображения с нулевой топологической энтропией и бесконечным минимальным множеством M, на котором отображение f|M топологически сопряжено счетчику τα, где α = (j1, . . . , jn, 2, 2, . . .). В то же время для любой последовательности α = (j1, . . . , ji , . . .), где ji ≥ 2 для всех i ≥ 1, существуют дендрит X, не являющийся конечным деревом, и непрерывное отображение f с нулевой топологической энтропией и бесконечным минимальным множеством M, на котором отображение f топологически сопряжено счетчику τα.
Нами также показано: если X – дендрит, а f : X → X – непрерывное отображение, имеющее нулевую топологическую энтропию и бесконечное минимальное множество M, то существует такая последовательность α = (j1, . . . , ji , . . .) (ji ≥ 2), что отображение f|M полусопряжено отображению счетчика τα.
