Классификация меняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов двумерного тора
https://doi.org/10.26907/2949-3919.2025.3.87-109
Аннотация
Согласно Я. Нильсену и Х. Хангу, каждый класс топологической сопряженности периодических гомеоморфизмов ориентируемых компактных поверхностей полностью описывается конечным набором данных, называемых характеристикой. Для двумерной сферы исчерпывающие классификационные результаты с построением линейных представителей в каждом классе сопряженности получены Б. Керекьярто. Для двумерного тора подобные результаты получены при участии авторов настоящей статьи. В данной работе найдены все характеристики меняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов двумерного тора. Для каждой из них построен гомеоморфизм, представляющий класс топологической сопряженности. Классификация периодических гомеоморфизмов, кроме самостоятельного интереса, играет ключевую роль в решении проблемы Палиса–Пью о построении устойчивых дуг в пространстве дискретных динамических систем, входящей в список 50 важнейших проблем динамических систем. Для всех классов градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей, где эта проблема решена, использовалась именно идея тесной связи таких систем с периодическими преобразованиями. Таким образом, полученный результат позволит расширить класс систем, для которых проблема Палиса–Пью решена.
При поддержке: Исследование осуществлено в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ
Об авторах
Т. Д. Мартынов
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Россия
Россия
Тимур Денисович Мартынов
ул. Большая Печерская, д. 25/12, г. Нижний Новгород, 603155
О. В. Починка
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Россия
Россия
Ольга Витальевна Починка
ул. Большая Печерская, д. 25/12, г. Нижний Новгород, 603155
Е. Е. Чилина
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Россия
Россия
Екатерина Евгеньевна Чилина
ул. Большая Печерская, д. 25/12, г. Нижний Новгород, 603155
Список литературы
1. J. Nielsen, Untersuchungen zur topologie der geschlossenen zweiseitigen Fl¨achen, Acta Math. 50 (1), 189–358 (1927) [In German]. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02421324
2. О.В. Починка, С.Х. Капкаева, В.З. Гринес, Трехцветный граф как полный топологический инвариант для градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей, Матем. сб. 205 (10), 19–46 (2014). DOI: https://doi.org/10.4213/sm8328
3. J. Palis, C. Pugh, Fifty problems in dynamical systems, в сб.: Lecture Notes in Math. 468 Springer, Berlin-New York, 345–353 (1975). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0082633
4. E. Nozdrinova, O. Pochinka, Solution of the 33rd Palis–Pugh problem for gradient-like diffeomorphisms of a two-dimensional sphere, Discrete Contin. Dyn. Syst. 41 (3), 1101–1131 (2021). DOI: https://doi.org/10.3934/dcds.2020311
5. A.A. Nozdrinov, E.V. Nozdrinova, O.V. Pochinka, Stable isotopy connectivity of gradient-like diffeomorphisms of 2-torus J. Geom. Phys. 207, art. 105352 (2025). DOI: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2024.105352
6. B. von Ker´ekj´art´o, Uber die periodischen Transformationen der Kreisscheibe und der ¨ Kugelfl¨ache, Math. Ann. 80 (1), 36–38 (1919) [in German]. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01463232
7. L.E.J. Brouwer, Uber die periodischen Transformationen der Kugel ¨ , Math. Ann. 80 (1), 39–41 (1919) [in German]. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01463233
8. J. Nielsen, Die struktur periodischer transformationen von fl¨achen, Math.-fys. Medd. Danske Vid. Selsk. 15 (1), Levin and Munksgaard, 1937.
9. K. Yokoyama, Classification of periodic maps on compact surfaces: I, Tokyo J. Math. 6 (1), 75–94 (1983). DOI: https://doi.org/10.3836/tjm/1270214327
10. K. Yokoyama, Classification of periodic maps on compact surfaces: II, Tokyo J. Math. 7 (1), 249–285 (1984). DOI: https://doi.org/10.3836/tjm/1270153007
11. K. Yokoyama, Complete classification of periodic maps on compact surfaces, Tokyo J. Math. 15 (2), 247–279 (1992). DOI: https://doi.org/10.3836/tjm/1270129455
12. H. Hang, Homology and orientation reversing periodic maps on surfaces, Topology Appl. 229, 1–19 (2017). DOI: https://doi.org/10.1016/j.topol.2017.06.023
13. S. Hirose, Presentations of periodic maps on oriented closed surfaces of genera up to 4, Osaka J. Math. 47 (2), 385–421 (2010).
14. D.A. Baranov, V.Z. Grines, O.V. Pochinka, E.E. Chilina, On a classification of periodic maps on the 2-torus, Russ. J. Nonlinear Dyn. 19 (1) 91–110 (2023). DOI: https://doi.org/10.20537/nd220702
15. Д.А. Баранов, О.В. Починка, Классификация периодических преобразований ориентируемой поверхности рода два, Журнал СВМО 23 (2), 147–158 (2021). DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.23.202102.147-158
16. K.-I. Tahara, On the finite subgroups of GL(3, Z), Nagoya Math. J. 41, 169–209 (1971). DOI: https://doi.org/10.1017/S002776300001415X
17. K.W. Kwun, J.L. Tollefson, PL Involutions of S 1 × S 1 × S 1 , Trans. Amer. Math. Soc. 203, 97–106 (1975). DOI: https://doi.org/10.2307/1997071
18. J. Hempel, Free cyclic actions on S 1 × S 1 × S 1 , Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1), 221–227 (1975). DOI: https://doi.org/10.2307/2040721
19. M.A. Natsheh, On cyclic group actions of even order on the three dimensional torus, Bull. Austral. Math. Soc. 37 (2), 189–196 (1988). DOI: https://doi.org/10.1017/S0004972700026721
20. L.E.J. Brouwer, Aufz¨ahlung der periodisken Transformationen des Torus, в сб.: KNAW Proc. 21 II, 1352–1356 (1919).
21. Ч. Коснёвски, Начальный курс алгебраической топологии, Мир, М., 1983.
Рецензия
Для цитирования:
Мартынов Т.Д., Починка О.В., Чилина Е.Е. Классификация меняющих ориентацию периодических гомеоморфизмов двумерного тора. Математика и теоретические компьютерные науки. 2025;3(3):87-109. https://doi.org/10.26907/2949-3919.2025.3.87-109
For citation:
Martynov T.D., Pochinka O.V., Chilina E.E. Classification of orientation reversing periodic homeomorphisms of a two dimensional torus. Mathematics and Theoretical Computer Science. 2025;3(3):87-109. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/2949-3919.2025.3.87-109
Просмотров:
14
Послать статью по эл. почте 