О минимальных множествах непрерывных отображений на одномерных континуумах

Пусть X – конечное дерево, а f : X → X – непрерывное отображение, имеющее нулевую топологическую энтропию и бесконечное минимальное множество M. Нами доказано, что сужение f|M отображения f на M топологически сопряжено отображению счетчика τα, где α = (j1, . . . , jn, 2, 2, . . .) есть последовательность при ji ≥ 2 для 1 ≤ i ≤ n. Дано описание топологической структуры конечных деревьев, на которых существуют непрерывные отображения с нулевой топологической энтропией и бесконечным минимальным множеством M, на котором отображение f|M топологически сопряжено счетчику τα, где α = (j1, . . . , jn, 2, 2, . . .). В то же время для любой последовательности α = (j1, . . . , ji , . . .), где ji ≥ 2 для всех i ≥ 1, существуют дендрит X, не являющийся конечным деревом, и непрерывное отображение f с нулевой топологической энтропией и бесконечным минимальным множеством M, на котором отображение f топологически сопряжено счетчику τα.

Нами также показано: если X – дендрит, а f : X → X – непрерывное отображение, имеющее нулевую топологическую энтропию и бесконечное минимальное множество M, то существует такая последовательность α = (j1, . . . , ji , . . .) (ji ≥ 2), что отображение f|M полусопряжено отображению счетчика τα. 

1. К. Куратовский, Топология, Т. 1, Мир, М., 1966; Т. 2, Мир, М., 1969.

2. А.Н.Шарковский, Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. Романенко, Разностные уравнения и их приложения, Наук. думка, Киев, 1986.

3. L. Alsed`a, X. Ye, No division and the set of periods for tree maps, Ergodic Theory Dynam. Systems 15 (2), 221–237 (1995). DOI: https://doi.org/10.1017/S0143385700008348

4. X. Ye, D-function of a minimal set and an extension of Sharkovskii’s theorem to minimal sets, Ergodic Theory Dynam. Systems 12 (2), 365–376 (1992). DOI: https://doi.org/10.1017/S0143385700006817

5. L.Alsed`a, X. Ye, Minimal sets of maps of Y , J. Math. Anal. Appl. 187 (1), 324–338 (1994). DOI: https://doi.org/10.1006/jmaa.1994.1359

6. B. Hasselblat, A. Katok, A first course in dynamics. With a panorama of recent developments, Cambridge University Press, New York, 2003.

7. Л.С. Ефремова, Е.Н. Махрова, Динамика монотонных отображений дендритов, Матем. сб. 192 (6), 15–30 (2001). DOI: https://doi.org/10.4213/sm570

8. E.N. Makhrova, Remarks on minimal sets on dendrites and finite graphs, J. Difference Equ. Appl. 29 (9–12), 1313–1322 (2023). DOI: https://doi.org/10.1080/10236198.2023.2220417

9. L. Block, J. Keesling, A characterization of adding machine maps, Topology Appl. 140 (2–3), 151–161 (2004). DOI: https://doi.org/10.1016/j.topol.2003.07.006

10. J. Banks, Regular periodic decompositions for topologically transitive maps, Ergodic Theory Dynam. Systems 17 (3), 505–529 (1997). DOI: https://doi.org/10.1017/S0143385797069885

11. М. Фейгенбаум, Универсальность в поведении нелинейных систем, УФН 141 (2), 343–374 (1983). DOI: https://doi.org/10.3367/UFNr.0141.198310e.0343

12. Z. Nitecki, Topological dynamics on the interval, in: A. Katok, Ergodic theory and dynamical systems II, Progr. Math. 21, Birkh¨auser, Boston, MA, 1–73 (1982). https://doi.org/10.1007/978-1-4899-2689-0_1

13. A. Blokh, The “spectral” decomposition for one-dimensional maps, in: Dynam. Report. Expositions Dynam. Systems 4, 1–59 (1995). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-61215-2_1

14. F. Balibrea, R. Hric, L’. Snoha, Minimal sets on graphs and dendrites, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 13 (7), 1721–1725 (2003). DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127403007576

15. F. Balibrea, T. Downarowicz, R. Hric, L’. Snoha, V. Spitalsk´y, ˘ Almost totally disconnected minimal systems, Ergodic Theory Dynam. Systems 29 (3), 737–766 (2009). DOI: https://doi.org/10.1017/S0143385708000540

16. H.-O. Peitgen, P.H. Richter, The beauty of fractals. Images of complex dynamical systems, Springer-Verlag, Berlin, 1986. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-61717-1

17. S.J. Agronsky, J.G. Ceder, What sets can be ω-limit sets in E n?, Real Anal. Exchange 17 (1), 97–109 (1991/1992). DOI: https://doi.org/10.2307/44152199

18. F. Balibrea, J.L. Garc´ia-Guirao, Continua with empty interior as ω-limit sets, Appl. Gen. Topol. 6 (2), 195–205 (2005).

19. L.S. Efremova, Example of the smooth skew product in the plane with the one-dimensional ramified continuum as the global attractor, in: European Conference on Iteration Theory 2010, ESAIM Proc. 36, EDP Sci., Les Ulis, 15–25 (2012). DOI: https://doi.org/10.1051/proc/201236002

20. L.S. Efremova, Ramified continua as global attractors of C 1 -smooth self-maps of a cylinder close to skew products, J. Difference Equ. Appl. 29 (9–12), 1244–1274 (2023). DOI: https://doi.org/10.1080/10236198.2023.2204144

21. D. Drozdov, A. Tetenov, On the classification of fractal square dendrites, Adv. Theory Nonlinear Anal. Appl. 7 (3), 19–96 (2023). DOI: https://doi.org/10.17762/atnaa.v7.i3.276

22. В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Диффузия и квантовая динамика на графах, Докл. РАН, 451 (2), 141–145 (2013). DOI: https://doi.org/10.7868/s0869565213200061

23. Л.С. Ефремова, Е.Н. Махрова, Одномерные динамические системы, УМН 76 (5), 81–146 (2021). DOI: https://doi.org/10.4213/rm9998

24. Дж.Д. Биркгоф, Динамические системы, Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2002.

25. R. Munasinghe, Composants, unstable sets, and minimal sets of inverse limit spaces, Thesis (Ph.D.), University of Wyoming. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1992.

26. S. Kolyada, L’. Snoha, Minimal dynamical systems, Scholarpedia 4 (11), art. 5803. URL: https://www.scholarpedia.org/article/Minimal$_$dynamical$_$systems

27. R.L. Adler, A.G. Konheim, M.H. McAndrew, Topological entropy, Trans. Amer. Math. Soc. 114, 309–319 (1965). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1965-0175106-9

28. Е.Н. Махрова, Структура дендритов со свойством существования периодических точек, Изв. вузов. Матем. (11), 41–45 (2011). URL: https://www.mathnet.ru/ivm8393

29. E.N. Makhrova, Remarks on the existence of periodic points for continuous maps on dendrites, Lobachevskii J. Math. 43 (7), 1711–1719 (2022). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080222100274

30. G.R. Gordon Jr., L. Lum, Monotone retracts and some characterizations of dendrites, Proc. Amer. Math. Soc. 59 (1), 156–158 (1976). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1976-0423317-X

31. Ю.С. Барковский, Г.М. Левин, О предельном канторовом множестве, УМН 35 (2), 201–202 (1980). URL: https://www.mathnet.ru/rus/rm3269

32. H.M. Gehman, Concerning the subsets of a plane continuous curve, Ann. Math. 27 (1), 29–46 (1925). DOI: https://doi.org/10.2307/1967832