Характеризация источников локализованных в пространстве квазистационарных электромагнитных полей

Рассматривается класс систем Au = f линейных дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих при моделировании стационарных и квазистационарных электромагнитных явлений. Для всех исследуемых задач показано, что источники f ∈ L2(Rn), при которых существует хотя бы одно локализованное в Rn слабое решение u, образуют подпространство функций, ортогональных в L2 ядру дифференциального оператора A∗, формально сопряженного к оператору A. Обсуждается применение полученных результатов к обратным задачам о восстановлении источников f по результатам граничных наблюдений. Для всех рассматриваемых задач показано, что проекция f в L2 на подпространство функций, ортогональных ядру A∗, по результатам граничных наблюдений восстановлена быть не может, а проекция f в L2 на ядро A∗ восстанавливается однозначно в результате решения корректной задачи с соответствующими граничными условиями.

1. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1979.

2. М.М. Лаврентьев, В.Г. Васильев, В.Г.Романов, Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений, Наука, Новосибирск, 1969.

3. С.И. Кабанихин, Обратные и некорректные задачи, Сибирское научное издательство, Новосибирск, 2009.

4. V. Isakov, Inverse source problems, AMS, Providence, RI, 1990. DOI: https://doi.org/10.1090/surv/034

5. П.С. Новиков, Об единственности обратной задачи потенциала, Докл. АН СССР 18 (3), 165–168 (1938). URL: https://www.mathnet.ru/rus/dan28237

6. F.G. Friedlander, An inverse problem for radiation fields, Proc. London Math. Soc. 27 (3), 551–576 (1973). DOI: https://doi.org/10.1112/plms/s3-27.3.551

7. N. Bleistein, J.K. Cohen, Nonuniqueness in the inverse source problem in acoustics and electromagnetics, J. Math. Phys. 18 (2), 194–201 (1977). DOI: https://doi.org/10.1063/1.523256

8. S. He, V.G. Romanov, Identification of dipole sources in a bounded domain for Maxwell’s equations, Wave Motion 28 (1), 25–40 (1998). DOI: https://doi.org/10.1016/S0165-2125(97)00063-2

9. E.A. Marengo, A.J. Devaney, R.W. Ziolkowski, Inverse source problem and minimumenergy sources, J. Opt. Soc. Am. A 17 (1), 34–45 (2000). DOI: https://doi.org/10.1364/JOSAA.17.000034

10. R. Albanese, P.B. Monk, The inverse source problem for Maxwells equations, Inverse Problems 22 (3), 1023–1035 (2006). DOI: https://doi.org/10.1088/0266-5611/22/3/018

11. A.A. Rodr´iguez, J. Cama˜no, A.Valli, Inverse source problems for eddy current equations, Inverse problems 28 (1), art. 015006 (2012). DOI: https://doi.org/10.1088/0266-5611/28/1/015006

12. G. Gbur, Nonradiating sources and other “invisible” objects, Progress in Optics 45, 273–315 (2003). DOI: https://doi.org/10.1016/S0079-6638(03)80007-0

13. A.J. Devaney, E.Wolf, Radiating and nonradiating classical current distributions and the fields they generate, Phys. Rev. D 8 (4), 1044–1047 (1973). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.8.1044

14. K. Kim, E.Wolf, Non-radiating monochromatic sources and their fields, Opt. Commun. 59 (1), 1–6 (1986). DOI: https://doi.org/10.1016/0030-4018(86)90034-9

15. A. Gamliel, K. Kim, A.I. Nachman, E.Wolf, A new method for specifying nonradiating monochromatic sources and their fields, J. Opt. Soc. Amer. A 6 (9), 1388–1393 (1989). DOI: https://doi.org/10.1364/JOSAA.6.001388

16. E.A. Marengo, R.W. Ziolkowski, On the radiating and nonradiating components of scalar, electromagnetic, and weak gravitational sources, Phys. Rev. Lett. 83 (17), 3345–3349 (1999). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.83.3345

17. E.A. Marengo, R.W. Ziolkowski, Nonradiating and minimum energy sources and their fields: generalized source inversion theory and applications, IEEE Trans. Antennas and Propagation 48 (10), 1553–1562 (2000). DOI: https://doi.org/10.1109/8.899672

18. E.A. Marengo, R.W. Ziolkowski, A new procedure for specifying nonradiating current distributions and the fields they produce, J. Math. Phys. 41 (2), 845–866 (2000). DOI: https://doi.org/10.1063/1.533166

19. E.A. Marengo, A.J. Devaney, Nonradiating sources with connections to the adjoint problem, Phys. Rev. E 70 (3), art. 037601 (2004). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.70.037601

20. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. Том 8. Электродинамика сплош- ных сред, Наука, Физматлит, М., 1982.

21. J. Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Am. J. Phys. 75 (3), 230–239 (2007). DOI: http://doi.org/10.1119/1.2397095

22. S.E. Kruger, The three quasistatic limits of the Maxwell equations, arXiv:1909.11264 (2019). DOI: http://doi.org/10.48550/arXiv.1909.11264

23. И.Е.Тамм, Основы теории электричества, Наука, М., 1989.

24. В.В.Толмачев, А.М. Головин, В.С. Потапов, Термодинамика и электродинамика сплошной среды, Изд-во МГУ, М., 1988.

25. A.A. Rodr´iguez, A.Valli, Eddy current approximation of Maxwell equations. Theory, algorithms and applications, Springer-Verlag Italia, Milan, 2010. DOI: https://doi.org/10.1007/978-88-470-1506-7

26. A.V. Kalinin, N.N. Slyunyaev, Initial-boundary value problems for the equations of the global atmospheric electric circuit, J. Math. Anal. Appl. 450 (1), 112–136 (2017). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2017.01.025

27. P. Degond, P.-A. Raviart, An analysis of the Darwin model of approximation to Maxwell’s equations, Forum Math. 4 (1), 13–44 (1992). DOI: https://doi.org/10.1515/form.1992.4.13

28. P.-A. Raviart, E. Sonnendr¨ucker, Approximate models for the Maxwell equations, J. Comput. Appl. Math. 63 (1–3), 69–81 (1995). DOI: https://doi.org/10.1016/0377-0427(95)00058-5

29. А.В. Калинин, А.А.Тюхтина, Приближение Дарвина для системы уравнений Макс- велла в неоднородных проводящих средах, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 60 (8), 1408–1421 (2020). DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466920080104

30. P.-A. Raviart, E. Sonnendr¨ucker, A hierarchy of approximate models for the Maxwell equations, Numer. Math. 73 (3), 329–372 (1996). DOI: https://doi.org/10.1007/s002110050196

31. A.N. Kaufman, P.S. Rostler, The Darwin model as a tool for electromagnetic plasma simulation, Phys. Fluids. 14 (2), 446–448 (1971). DOI: https://doi.org/10.1063/1.1693451

32. T.B. Krause, A. Apte, P.J. Morrison, A unified approach to the Darwin approximation, Phys. Plasmas 14 (10), art. 102112 (2007). DOI: http://doi.org/10.1063/1.2799346

33. S.Koch, H. Schneider, T.Weiland, A low-frequency approximation to the Maxwell equations simultaneously considering inductive and capacitive phenomena, IEEE Trans. Magn. 48 (2), 511–514 (2012). DOI: https://doi.org/10.1109/TMAG.2011.2173163

34. А.В. Калинин, А.А.Тюхтина, Некоторые математические задачи атмосферного электричества, Итоги науки и техники. Совр. мат. прил. 207, 48–60 (2022). DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-207-48-60

35. A.V. Kalinin, A.A.Tyukhtina, Hierarchy of models of quasi-stationary electromagnetic fields, in: MMST 2020. Commun. Comput. Inf. Sci. 1413, Springer, Cham, 77–92 (2021) DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-78759-2_6

36. А.В. Калинин, А.А.Тюхтина, С.А. Малов, Задачи определения квазистационарных электромагнитных полей в слабо неоднородных средах, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 64 (6), 1064–1081 (2024). DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466924060144

37. Л. Хёрмандер, К теории общих дифференциальных операторов в частных производных, Изд-во иностр. лит., М., 1959.

38. Р. Эдвардс, Функциональный анализ. Теория и приложения, Мир, М., 1969.

39. V. Girault, P. Raviart, Finite element methods for Navier–Stokes equations. Theory and algorithms, Springer-Verlag, New York, 1986. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-61623-5

40. Х. Гаевский, К. Грёгер, К. Захариас, Нелинейные операторные уравнения и оператор- ные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1978.

41. R. Dautray, J.-L. Lions, Functional and variational methods, in: Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technoogy 2, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 2000.