Установлена попарная топологическая сопряженность в некоторых неограниченных подмножествах плоскости R2 следующих квадратичных отображений: F(x, y) = xy, (x − 2)2 , Лотки–Вольтерра L(x, y) = (x (4 − x − y), xy) и H(x, y) = y2, xy − 2x + 2 , возникающего при изучении коэффициентов отражения и прохождения плоской волны с заданным импульсом в поле квазикристаллической решетки. С помощью установленной топологической сопряженности и предыдущих результатов авторов о блуждающих точках отображения F дано описание множества тех блуждающих точек отображений L и H, которые лежат в выделенных неограниченных областях.
Рассматривается класс систем Au = f линейных дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих при моделировании стационарных и квазистационарных электромагнитных явлений. Для всех исследуемых задач показано, что источники f ∈ L2(Rn), при которых существует хотя бы одно локализованное в Rn слабое решение u, образуют подпространство функций, ортогональных в L2 ядру дифференциального оператора A∗, формально сопряженного к оператору A. Обсуждается применение полученных результатов к обратным задачам о восстановлении источников f по результатам граничных наблюдений. Для всех рассматриваемых задач показано, что проекция f в L2 на подпространство функций, ортогональных ядру A∗, по результатам граничных наблюдений восстановлена быть не может, а проекция f в L2 на ядро A∗ восстанавливается однозначно в результате решения корректной задачи с соответствующими граничными условиями.
Пусть X – дендрит со счетным множеством концевых точек, а f : X → X – непрерывное отображение. Показано, что топологическая энтропия отображения f положительна тогда и только тогда, когда существует натуральное число n такое, что отображение fn имеет дуговую подкову. Также установлена ключевая роль бесконечных минимальных множеств при изучении динамики указанных отображений. В частности, доказано, что положительность топологической энтропии таких отображений влечет существование бесконечного минимального множества M в X, сужение отображения на котором f|M имеет положительную топологическую энтропию.
Траектории движения вдоль бездивергентных векторных полей в фазовом пространстве автономных систем дифференциальных уравнений изучаются наряду с соответствующим эволюционным дифференциальным уравнением первого порядка (уравнением Лиувилля), описывающим сдвиг аргумента заданной на фазовом пространстве функции вдоль траекторий векторного поля. В качестве фазового пространства рассматриваются конечные графы и плоские области. Отсутствие глобального по времени решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений приводит к отсутствию порождаемой задачей Коши группы преобразований пространства начальных данных. Продолжение совокупности фазовых траекторий сопоставляется с косоэрмитовым расширением дифференциального оператора, заданного на гладких финитных функциях на фазовом пространстве. Установлено, какие косоэрмитовы расширения дифференциального оператора первого порядка ассоциированы с детерминированными продолжениями фазового потока, а какие – со стохастическими продолжениями траекторий через границу фазового пространства.
Изучаются эндоморфизмы инверсной полугруппы M(P), порожденной свободным произведением конусов и показывается, что при этом возможны три типа эндоморфизмов. Далее рассматриваются C∗-алгебры C∗(ρ), порожденные сплетающими операторами степеней эндоморфизма ρ полугруппы M(P). Найдены генераторы этих алгебр для каждого из трех возможных типов эндоморфизмов.
С помощью построенной в части I биекции пространства операторнозначных функций на множество цилиндрических мер на пространстве траекторий получен аналог формулы Фейнмана–Каца для возмущения генератора C0-полугруппы ограниченным оператором умножения. Определены классы функционалов на пространстве траекторий, интегрируемых относительно цилиндрических мер. Установлены условия корректной разрешимости задачи Коши для эволюционного уравнения первого порядка с переменным генератором. Получено представление ее решения в терминах континуального интеграла по нестационарной марковской цилиндрической мере на пространстве траекторий.
