Формулы Фейнмана–Каца для решений эволюционных уравнений II. Эволюционные семейства и континуальные интегралы

С помощью построенной в части I биекции пространства операторнозначных функций на множество цилиндрических мер на пространстве траекторий получен аналог формулы Фейнмана–Каца для возмущения генератора C0-полугруппы ограниченным оператором умножения. Определены классы функционалов на пространстве траекторий, интегрируемых относительно цилиндрических мер. Установлены условия корректной разрешимости задачи Коши для эволюционного уравнения первого порядка с переменным генератором. Получено представление ее решения в терминах континуального интеграла по нестационарной марковской цилиндрической мере на пространстве траекторий.

1. Ю.Н. Орлов, В.Ж.Сакбаев, Формулы Фейнмана–Каца для решений эволюционных уравнений. I. Обобщенные случайные процессы и семейства операторов, Матем. теор. комп. науки 3 (2), 85–135 (2025). DOI: https://doi.org/10.26907/2949-3919.2025.2.85-135

2. О.Г. Смолянов, Е.Т. Шавгулидзе, Континуальные интегралы, URSS, М., 2015.

3. А.Л. Алимов, О связи между континуальными интегралами и дифференциальными уравнениями, ТМФ 11 (2), 182–189 (1972). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tmf2839

4. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics. II: Fourier analysis, self-adjointness, Academic Press, New York–London, 1975.

5. А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин, Флуктуации в динамических системах под действи- ем малых случайных возмущений, Наука, М., 1979.

6. C. Bender, Ya.A. Butko, Stochastic solutions of generalized time-fractional evolution equations, Fract. Calc. Appl. Anal. 25 (2), 488–519 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s13540-022-00025-3

7. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. II, Мир, М., 1984.

8. Дж. Гоф, Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Марковские аппроксимации эволюции квантовых систем, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр. 503, 48–53 (2022). DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954322020102

9. T. Liggett, Interacting particle systems, Springer-Verlag, Berlin, 2005. DOI: https://doi.org/10.1007/b138374

10. И.В. Волович, В.Ж. Сакбаев, О квантовой динамике на C∗-алгебрах, Тр. МИАН 301, 33–47 (2018). DOI: https://doi.org/10.1134/S0371968518020036

11. J. Zinn-Justin, Path integrals in quantum mechanics, Oxford University Press, Oxford, 2010. DOI: https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198566748.001.0001

12. R.P. Feynman, Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Rev. Modern Physics 20, 367–387 (1948). DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.20.367

13. R.P. Feynman, An operation calculus having applications in quantum electrodynamics, Phys. Rev. (2) 84, 108–128 (1951). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.84.108

14. Н.Н. Попов, Об интегрировании в функциональных пространствах в квантовой механике, Докл. АН СССР 301 (6), 1366–1369 (1988). URL: https://www.mathnet.ru/rus/dan7499

15. И.А. Ибрагимов, Н.В. Смородина, М.М. Фаддеев, Предельная теорема о сходимости функционалов от случайного блуждания к решению задачи Коши для уравнения ∂u ∂t = σ2 2 Δu с комплексным параметром σ, Зап. научн. сем. ПОМИ 420, 88–102 (2013). URL: https://www.mathnet.ru/rus/znsl5728

16. М.В. Платонова, Аналог формулы Фейнмана–Каца для оператора высокого порядка, Теория вероятн. и ее примен. 67 (1), 81–99 (2022). DOI: https://doi.org/10.4213/tvp5425

17. М.В. Платонова, С.В. Цыкин, Вероятностная аппроксимация решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера высокого порядка, Теория вероятн. и ее примен. 65 (4), 710–724 (2020). DOI: https://doi.org/10.4213/tvp5396

18. Е.Т. Шавгулидзе, Специальные самосопряженные расширения дифференциальных операторов Шредингера с помощью интегралов Фейнмана, Докл. РАН 348 (6), 743–745 (1996). URL: https://www.mathnet.ru/rus/dan4093

19. V.V. Belokurov, E.T. Shavgulidze, Nonlinear nonlocal substitution in functional integrals, J. Math. Sci. 248 (5), 544–552 (2020). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-020-04895-x

20. V.V. Belokurov, E.T. Shavgulidze, Path integrals in quadratic gravity, J. High Energ. Phys. 2022, art. 112 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP02(2022)112

21. Я.И. Белопольская, Стохастическая модель задачи Коши–Робина для системы нелинейных параболических уравнений, Зап. научн. сем. ПОМИ 515, 39–71 (2022). URL: https://www.mathnet.ru/rus/znsl7254

22. L. Izydorczyk, N. Oudiane, F.Russo, McKean Feynman–Kac probabilistic representations of non-linear partial differential equations, in: Geometry and invariance in stochastic dynamics, Springer, Cham, 187–212 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-87432-2_10

23. H.P. McKean, Application of brownian motion to the equation of Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov, Comm. Pure Appl. Math 28 (3), 323–331 (1975).

24. H.P. Jr. McKean, A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 56 (6), 1907–1911 (1966). DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.56.6.1907

25. Yu.N. Orlov, V.Z. Sakbaev, E.V. Shmidt, Compositions of random processes in a Hilbert space and its limit distribution, Lobachevskii J. Math. 44 (4), 1432–1447 (2023). DOI: http://doi.org/10.1134/S1995080223040212

26. Yu.N. Orlov, V.Z. Sakbaev, Feynman–Kac formulas for difference-differential equations of retarded type, Lobachevskii J. Math. 45 (6), 2567–2576 (2024). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080224602790

27. Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, Формулы Фейнмана–Каца для решений нестационарно возмущеных эволюционных уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 65 (1), 69–87 (2025). DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466925010077

28. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972.

29. Х. Шефер, Топологические векторные пространства, Мир, М., 1971.

30. V.I. Bogachev, O.G. Smolyanov, Topological vector spaces and their applications, Springer, Cham, 2017. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-57117-1

31. С.Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, М., 1967.

32. V.Zh. Sakbaev, O.G. Smolyanov, Feynman calculus for random operator-valued functions and their applications, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 160 (2), 373–383 (2018). URL: https://www.mathnet.ru/rus/uzku1463

33. O.G. Smolyanov, A.G.Tokarev, A.Truman, Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula, J. Math. Phys. 43 (10), 5161–5171 (2002). DOI: https://doi.org/10.1063/1.1500422

34. I.D. Remizov, Quasi-Feynman formulas – a method of obtaining the evolution operator for the Schr¨odinger equation, J. Funct. Anal. 270 (12), 4540–4557 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2015.11.017

35. А.Д. Вентцель, Курс теории случайных процессов, Наука. Физматлит, М., 1996.

36. C. Bender, M. Bormann, Ya.A. Butko, Subordination principle and Feynman–Kac formulae for generalized time-fractional evolution equations, Fract. Calc. Appl. Anal. 25 (5), 1818–1836 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s13540-022-00082-8

37. Дж. Гоф, О.О. Обрезков, О.Г. Смолянов, Рандомизированные гамильтоновы интегралы Фейнмана и стохастические уравнения Шредингера–Ито, Изв. РАН. Сер. матем. 69 (6), 3–20 (2005). DOI: https://doi.org/10.4213/im663

38. A.A. Loboda, Itˆo method for providing the Feynman–Kac formula for the euclidean analog of the stochastic Schr¨odinger equation, Differ. Equ. 54 (4), 557–561 (2018). DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266118040122

39. A.S. Plyashechnik, Feynman formula for Schr¨odinger-type equations with time- and space-dependent coefficients, Russian J. Math. Phys. 19 (3), 340–359 (2012). DOI: https://doi.org/10.1134/S1061920812030077

40. В.П. Маслов, Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана, Наука, М., 1976.

41. В.В. Власов, Д.А. Медведев, Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории, СМФН 30, 3–173 (2007). URL: https://www.mathnet.ru/rus/cmfd130