Продолжения фазовых траекторий и расширения дифференциальных операторов
https://doi.org/10.26907/2949-3919.2025.4.87-119
Аннотация
Траектории движения вдоль бездивергентных векторных полей в фазовом пространстве автономных систем дифференциальных уравнений изучаются наряду с соответствующим эволюционным дифференциальным уравнением первого порядка (уравнением Лиувилля), описывающим сдвиг аргумента заданной на фазовом пространстве функции вдоль траекторий векторного поля. В качестве фазового пространства рассматриваются конечные графы и плоские области. Отсутствие глобального по времени решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений приводит к отсутствию порождаемой задачей Коши группы преобразований пространства начальных данных. Продолжение совокупности фазовых траекторий сопоставляется с косоэрмитовым расширением дифференциального оператора, заданного на гладких финитных функциях на фазовом пространстве. Установлено, какие косоэрмитовы расширения дифференциального оператора первого порядка ассоциированы с детерминированными продолжениями фазового потока, а какие – со стохастическими продолжениями траекторий через границу фазового пространства.
Об авторе
В. Ж. Сакбаев
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Россия
Россия
Всеволод Жанович Сакбаев
Миусская пл., д. 4, г. Москва, 125047
Список литературы
1. J. Bourgain, Periodic nonlinear Schr¨odinger equation and invariant measures, Comm. Math. Phys. 166 (1), 1–26 (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02099299
2. P. Chernoff, J. Marsden, Properties of infinite dimensional Hamiltonian systems, Lecture Notes Math. 425, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1974. DOI: https://doi.org/10.1007/bfb0073665
3. P.E. Zhidkov, On invariant measure for some infinite-dimensional dynamical systems, Ann. Inst. H. Poincare. Sect. A 62 (3), 267–287 (1995). URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0693-3_32
4. Я.Б. Зельдович, Ю.П.Райзер, Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, Наука, М., 1966.
5. О.А. Олейник, Е.В.Радкевич, Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой, Изд-во Моск. ун-та, М., 2010.
6. В.И.Таланов, Некоторые вопросы теории самофокусировки, УФН 107 (3), 514–515 (1972). DOI: https://doi.org/10.3367/UFNr.0107.197207m.0514
7. O.S. Rozanova, Formation of singularities of solutions of the equations of motion of compressible fluids subjected to external forces in the case of several spatial variables, J. Math. Sci. 143 (4), 3355–3376 (2007). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-007-0214-2
8. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics. I: Functional Analysis, Academic Press, New York-London, 1972 DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-585001-8.X5001-6
9. И.В. Волович, В.Ж. Сакбаев, Об универсальной краевой задаче для уравнений математической физики, Тр. МИАН 285, 64–88 (2014). DOI: https://doi.org/10.1134/S037196851402006X
10. Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, М., 1966.
11. Ю.В. Покорный, О.M. Пенкин, В.Л.Прядиев, А.В. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров, Дифференциальные уравнения на геометрических графах, Физматлит, М., 2004.
12. В.Л.Прядиев, Метод граничных режимов в решении начально-краевой задачи для волнового уравнения на геометрическом графе, СМФН 71 (2), 287–298 (2025). DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2025-71-2-287-298
13. G.L. Alfimov, M.E. Lebedev, Complete description of bounded solutions for a Duffing-type equation with a periodic piecewise constant coefficient, Rus. J. Nonlin. Dyn. 19 (4), 473–506 (2023). DOI: https://doi.org/10.20537/nd231102
14. С.А. Степин, А.И. Шафаревич, Промежуточные асимптотики решений уравнений типа Эмдена–Фаулера, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр. 520 (1), 24–28 (2024). DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954324060048
15. Г. Фикера, К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка, Математика 7 (6), 99–122 (1963). URL: https://www.mathnet.ru/rus/mat288
16. T.V. Anoop, V. Bobkov, M. Ghosh, Neumann domains of planar analytic eigenfunctions, arXiv:2410.07811 [math.AP], 2024. URL: https://arxiv.org/abs/2410.07811
17. V.Zh. Sakbaev, O.G. Smolyanov, Diffusion and quantum dynamics on graphs, Dokl. Math. 88 (1), 404–408 (2013). DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562413040108
18. В.Ж. Сакбаев, О спектральных аспектах регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сб. статей, Тр. МИАН 261, 258–267 (2008). URL: https://www.mathnet.ru/rus/tm754
19. А.А.Толченников, В.Л. Чернышев, А.И. Шафаревич, Асимптотические свойства и классические динамические системы в квантовых задачах на сингулярных пространствах, Нелинейная динам. 6 (3), 623–638 (2010). URL: https://doi.org/10.20537/nd1003010
20. В.Л. Чернышев, А.И. Шафаревич, Квазиклассический спектр оператора Шрёдингера на геометрическом графе, Матем. заметки 82 (4), 606–620 (2007). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm3853
21. V.L. Chernyshev, A.I. Shafarevich, Statistics of Gaussian packets on metric and decorated graphs, Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 372, art. 20130145 (2014). DOI: https://doi.org/10.1098/rsta.2013.0145
22. А.Д. Морозов, К вопросу о полном качественном исследовании уравнения Дюффинга, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 13 (5), 1134–1152 (1973). URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf6552
23. В.А. Глазатов, В.Ж. Сакбаев, Динамика нелинейных волновых систем, допускающая формирование особенностей, Изв. вузов. Радиофизика 68 (5–6), 496–504 (2025). DOI: https://doi.org/10.52452/00213462_2025_68_05_496
24. V.A. Glazatov, V.Zh. Sakbaev, Analysis of exploding solutions of an infinite-dimensional linear Hamiltonian system in phase space extensions, Lobachevskii J. Math. 46 (3), 1271–1283 (2025). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080225605624
25. K.-J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, Graduate texts in mathematics 194, Springer-Verlag, New-York, 2000. DOI: https://doi.org/10.1007/b97696
26. М.А. Айзерман, Классическая механика, Москва, Наука, 1980.
Рецензия
Для цитирования:
Сакбаев В.Ж. Продолжения фазовых траекторий и расширения дифференциальных операторов. Математика и теоретические компьютерные науки. 2025;3(4):87-119. https://doi.org/10.26907/2949-3919.2025.4.87-119
For citation:
Sakbaev V.Zh. Extensions of phase trajectories and extensions of differential operators. Mathematics and Theoretical Computer Science. 2025;3(4):87-119. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/2949-3919.2025.4.87-119
Просмотров:
92
JATS XML
Послать статью по эл. почте 