This text presents an informal overview on how, in accordance with some deeply rooted principles of the philosophy of Alexander Grothendieck concerning the practice of mathematics, recent progress in anabelian arithmetic geometry led to the Inter-universal Teichm¨uller theory (IUT) of Mochizuki Shinichi. The new geometry of monoids furnished by IUT may be understood as the result of a seminal encounter between Grothendieck’s principle of resolving the tension between the discrete and continuous realms, on the one hand, and p-adic Hodge theory and height theory, on the other, and opens a new research frontier that goes beyond the Grothendieck geometry of rings-schemes by providing a unifying framework for Diophantine and anabelian arithmetic geometry

Дан краткий обзор результатов по восстановлению сигнала- вектора по модулям измерений и по нормам ортопроекторов в конечномерном евклидовом и унитарном пространствах, и в бесконечномерном вещественном пространстве ℓ2. Сформулированы три задачи, полное решение которых пока не найдено. Приведены возможные пути решений и доказаны теоремы, дающие частичные ответы на поставленные вопросы

Развернутая запись лекции, прочитанной автором на конференции “Комплексный анализ и смежные проблемы”, прошедшей с 29 июня по 4 июля в Казани. Лекция была посвящена гипотезе Гликсберга и родственному, но независимому от нее утверждению о незамкнутости сумм некоторых идеалов в равномерных алгебрах. Настоящий текст содержит несколько новых формулировок в сравнении с лекцией и имеющейся литературой

Обнаружен класс биллиардов, геометрия которых может меняться при изменении энергии шара, движущегося по «биллиардному столу». Такие биллиарды названы силовыми или эволюционными. Они позволяют реализовать важные интегрируемые гамильтоновы системы (с двумя степенями свободы) сразу на всем фазовом 4-мерном пространстве системы, т. е. одновременно на всех регулярных изоэнергетических 3-мерных поверхностях. Автор и В.В. Ведюшкина доказали, что силовые биллиарды реализуют интегрируемые случаи Эйлера и Лагранжа в динамике тяжелого тела в трехмерном пространстве. Обнаружено, что эти две известные системы «биллиардно эквивалентны», хотя обладают интегралами разных степеней – квадратичным (Эйлер) и линейным (Лагранж).

Статья посвящена оценке индексного множества конечнопорожденных структур, имеющих с точностью до пунктуального изоморфизма единственное пунктуальное представление. Показано, что это индексное множество является Π03 -полным.

Исследуются арифметические свойства целочисленных последовательностей, отвечающие за количества замощений колец, разбитых на конечное число одинаковых ячеек, с помощью двух миношек. Также изучаются рекуррентные последовательности, связанные с треугольником Паскаля