В работе Дьюка и Хопкинса (2005), следуя подходу Е.И. Золотарева, получен аналог квадратичного закона взаимности для групп с использованием символа Кронекера. В нашей заметке предложено короткое доказательство этого утверждения с использованием символа Якоби. Работа в основном носит методический характер. В связи с этим в ней также приведено доказательство результата установленного в работе Фробениуса (1914), связанного с комбинаторной интерпретацией символа Якоби.

Построен алгоритм преобразования слов с помощью набора конечных квазигрупп в количестве, равном числу символов алфавита. Приведены некоторые свойства тернарных (L, M)-квазигрупп, которые играют важную роль при анализе и проектировании криптографических схем на основе этих алгебр, такие как полиномиальная полнота, отсутствие нетривиальных конгруэнций.

Жесткой изотопией вещественных алгебраических кривых некоторого класса называется путь в пространстве кривых этого класса. В работе завершена жесткая изотопическая классификация неособых вещественных алгебраических кривых бистепени (4,3) на гиперболоиде, начатая автором в более ранних работах. Даны отсутствовавшие доказательства единственности компонент связности 16-ти классов вещественных алгебраических кривых бистепени (4,3), имеющих единственную невырожденную двойную точку или точку возврата. Основным техническим средством являются графы вещественных тригональных кривых на поверхностях Хирцебруха.

Показано, что если сжатый граф делителей нуля конечного ассоциативного кольца имеет единственную вершину, смежную со всеми остальными вершинами этого графа, то эта вершина имеет петлю. Кроме того, доказаны еще некоторые свойства сжатого графа делителей нуля конечного ассоциативного кольца.

Классом Леви L(M), порожденным классом групп M, называется класс всех групп, в которых нормальное замыкание каждой циклической подгруппы принадлежит M. Пусть p – простое число, p ̸= 2, s – натуральное число, s ≥ 2, и s > 2 при p = 3; H_ps – свободная ранга 2 группа в многообразии нильпотентных ступени ≤ 2 групп экспоненты p^{s с коммутантом экспоненты p; Z – бесконечная циклическая группа; q{H}_p^{s , Z} – квазимногообразие, порожденное множеством групп {H}_p^{s , Z}. В работе найден базис квазитождеств класса Леви L(q{H}_p^{s , Z}) и установлено, что существует континуальное множество квазимногообразий K таких, что L(K) = L(q{H}_p^{s , Z}).}