Данная статья является во многом обзорной, и также она носит методический характер. В статье рассматриваются обобщения теоремы плотности Джекобсона–Шевалле, на основе которых излагается ряд результатов из линейной алгебры, связанных с централизаторами локально алгебраических линейных операторов. Также на основе подхода Джекобсона к построению теории Галуа, основанным на теореме плотности, приводится доказательство теоремы Гильберта 90 и некоторые ее известные обобщения.

Пусть алгебра фон Неймана M операторов действует в гильбертовом пространстве H, I – единица M, τ – точный нормальный полуконечный след на M. Пусть S(M, τ ) – ^∗-алгебра τ-измеримых операторов и L₁(M, τ ) – банахово пространство τ-интегрируемых операторов, P,Q ∈ S(M, τ ) являются идемпотентами. Если P −Q ∈ L₁(M, τ ), то τ (P −Q) ∈ R.  В частности, если A = A³ ∈ L₁(M, τ ), то τ (A) ∈ R. Если P − Q ∈ L₁(M, τ ) и PQ ∈ M, то для всех n ∈ N имеем (P−Q)²ⁿ⁺¹ ∈ L₁(M, τ ) и τ ((P−Q)²ⁿ⁺¹) = τ (P−Q) ∈ R. Если A ∈ L₂(M, τ ) и U ∈ M является изометрией, то ∥UA−A∥²₂ ≤ 2∥(I −U)AA^∗∥₁.

Изучаются задачи о матричном спектре, лежащем внутри или вне областей, ограниченных эллипсом или параболой. С каждой из этих задач тесно связаны вопросы разрешимости специальных уравнений типа Ляпунова. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости таких уравнений. Получены условия на возмущения матричных элементов, гарантирующие принадлежность спектров указанным областям.

Изучаются тьюринговые степени селекторных функций, образующие классы степеней, в которых жесткая вычислимая структура оказывается относительно вычислимо категоричной. Доказывается, что для некоторых структур класс таких степеней может представляться в виде объединения нескольких верхних конусов в.п. степеней. Кроме того, будет установлено, что существуют не-в.п. верхние конусы степеней, реализующиеся классами степеней, в которых вычислимая структура относительно вычислимо категорична.

Получено полное описание инволюций в кольцах формальных матриц K_s(R) над факториальным кольцом R. Также изучена проблема эквивалентности инволюций в таких кольцах формальных матриц.

Теорема Бёрлинга–Мальявена о мультипликаторе, рассматривавшаяся в субгармоническом обрамлении в первой части нашей работы, уже в изначальном классическом варианте в рамках целых функций экспоненциального типа позволила в 1960-е гг. полностью решить задачу о радиусе полноты экспоненциальной системы в форме замечательного критерия исключительно в геометрических терминах для показателей этой экспоненциальной системы без каких-либо дополнительных ограничений на взаимное расположение этих показателей. Точные формулировки теоремы Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты во введении мы несколько адаптируем как задачу о возможном минимальном росте вдоль вещественной оси R субгармонических функций с заданными ограничениями на распределения их масс Рисса. В этой, во многом обзорной части работы, мы обсуждаем теорему Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты вместе с ее несколько более общими субгармоническими проявлениями. Так, наши результаты 2014–16 гг. позволяют получать значительно более тонкие результаты в отношении самой теоремы Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты с дефектом-избытком не более 1 или 2 для показателей в классических жестких банаховых пространствах непрерывных функций на отрезке фиксированной длины или функций с интегрируемым в p-й степени модулем на таких отрезках.

1 декабря, в день рождения великого геометра и ректора Казанского университета Н.И. Лобачевского, в Императорском зале КФУ состоялась церемония награждения лауреата Международной премии и медали им. Н.И. Лобачевского “За выдающиеся работы в области фундаментальной и прикладной математики”.