Теорема о нулях, доказанная Гильбертом в 1890 году, является одним из основополагающих результатов современной алгебраической геометрии. В нашей работе мы приводим разнообразные формулировки и доказательства этой теоремы, каждая из которых используется в алгебраической геометрии. Все понятия и факты, выходящие за рамки стандартного курса алгебры, объясняются в статье.

Уточнена аксиоматика асимметричных логик множеств. Для логик X(km, k) – семейств всех подмножеств km-элементного множества X, число элементов которых кратно k, – полностью описаны случаи, когда X(km, k) a) симметрична или b) асимметрична. Для бесконечного множества Ω и натурального числа n ≥ 2 построены логики множеств EΩn и полностью описаны случаи, когда эти логики асимметричны. Для асимметричной логики E определено, когда и множество A ∈ E, и его дополнение Ac одновременно являются атомами логики E. Пусть симметричная логика E подмножеств конечного множества Ω не является булевой алгеброй, пусть A – алгебра подмножеств Ω и E ⊂ A. Тогда существует мера на E, которая не продолжается до меры на A.

Исследуется явление ухода на бесконечность за конечное время фазовых траекторий гамильтоновой системы, фазовым пространством которой является сепарабельное гильбертово пространство. Показано, что если гамильтониан является плотно определенной квадратичной формой на фазовом пространстве, не мажорируемой ни снизу, ни сверху квадратичной формой гильбертовой нормы, то фазовые траектории допускают уход на бесконечность за конечное время. Для описания фазового потока таких гамильтоновых систем вводится расширенное фазовое пространство, которое представляет собой локально выпуклое пространство, на которое допускают продолжения определенные на исходном гильбертовом пространстве функция Гамильтона, траектории гамильтоновой системы и симплектическая форма. Также исследуются инвариантные относительно потока меры на расширенном пространстве. Исследованы свойства купмановкого унитарного представления продолженного фазового потока в гильбертовом пространстве функций, квадратично интегрируемых по инвариантной мере.

Доказано, что всякое кобесконечное множество является характеристической трансверсалью подходящей вычислимо отделимой эквивалентности, над которой представимы только локально конечные, локально финитно отделимые и финитно аппроксимируемые унарные алгебры. Рассмотрены аналогичные свойства для равномерно вычислимо отделимых эквивалентностей.

Доказано существование 2ω попарно не Σ-вложимых друг в друга (и тем более не Σ-изоморфных) Σ-представлений аддитивной группы вещественных чисел в наследственно конечной надстройке над упорядоченным полем вещественных чисел.

Доказано, что для каждого u ⩾ 2 класс всех однозначных Σ0 uвычислимых нумераций любого бесконечного семейства всюду определенных функций эффективно бесконечен и класс всех его Σ0 u-1-вычислимых нумераций порождается замыканием вниз относительно сводимости множества всех бесконечных прямых сумм равномерно Σ0 u-1-вычислимых последовательностей его однозначных нумераций. Установлено, что если u > 2, то класс всех Σ0 u-вычислимых нумераций любого бесконечного семейства порождается бесконечными прямыми суммами равномерно Σ0 u-вычислимых и равномерно Σ0 uминимальных последовательностей его нумераций.